高中数学题库高一部分-C数列-数列的综合

一辆邮政车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点站A和终点站B），每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个，设该车从各站出发时邮政车内的邮袋数构成一个有穷数列{}ka，（k=1,2,3,,n）试求：（1）1a，23,aa（2）邮政车从第k站出发时，车内共有邮袋数是多少个？（3）求数列{}ka的前k项和KS并证明：316KSn答案：（1）由题意得：1231,(1)(2)1,(1)(2)(3)12.3anannannn分（2）在第k站出发时，前面放上的邮袋共：)()2()1(knnn个而从第二站起，每站放下的邮袋共：1＋2＋3＋…＋（k－1）个故)]1(21[)()2()1(kknnnak),,2,1()1(21)1(212nkkknkkkkkn即邮政车从第k站出发时，车内共有邮袋数),2,1(2nkkkn个（3）2222,(2)(12)1(1)(21)()1226kkaknkSnnknkkkkknkn分333(1)(321)113211()663611146KkknkkknknkkSn等号不成立。分来源：09年广东中山市月考二题型：解答题，难度：中档已知数列}{na前n项和为)34()1(2117139511nSnn，则S15+S22S31的值是A.12B.-76C.46D.76答案：B来源：07年江苏数学竞赛预赛题型：选择题，难度：较难已知数列{}na中，211111,(,2)nnnnnaaaaaanNn，且11.nnakna（1）求证：1k；（2）设1()(1)!nnaxgxn，()fx是数列{()}gx的前n项和，求()fx的解析式；（3）求证：不等式3(2)(3)fgn对于nN恒成立。答案：（1）11knaann，1212kaaa又因为)2*,(,121111nNnaaaaaannnnn，则221213aaaaa，即2231aaa，又1223kaa，ka22，1k（2）11naann，!12)1(112211nnnaaaaaaaannnnn因为11)!1()(nnnnxnxaxg，所以当1x时，2)1(321)1(nnnf当1x时，12321)(nnxxxxf，错误!未找到引用源。nnxxxxxxf3232)(，错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。：nnnnnxxxnxxxxxfx111)()1(12xnxxxxfnn1)1(1)(2.综上所述，1,1)1(11,2)1()(2xxnxxxxnnxfnn（3）12)1(212)21(21)2(2nnnnnf，又ngn3)3(3，易验证当3,2,1n时不等式成立假设)3(kkn，不等式成立，即12)1(3kkk，两边乘以3得222)1(31232)1(3311kkkkkkkkk又因为022)3(2)233(2222)1(31kkkkkkkkk所以12222)1(3123111kkkkkkkkk即1kn时不等式成立.故不等式恒成立来源：09年山东师大附中月考一题型：解答题，难度：较难数列1211{}1,5,56,(2)nnnnaaaaaan满足（1）是否存在非零常数，使数列1{}nnaa成等比数列，并证明；（2）求数列{}na的通项na；（3）求证：121111310naaa.答案：（1）111156nnnnnnnnnaaqaaaqaaaa设（）解得2,3或5分（2）32,23qq113223nnnnnnaaaa32nnna5分.(3)由于121321232(32)(332322)53nnnnnnnna2n211211111111113113()1(1)513352310nnnaaaa5分来源：09年浙江金华月考一题型：解答题，难度：较难已知数列na中，11a，且3231naann(2,)nnN（Ⅰ）求32,aa，并证明数列nan是等比数列；（II）求naaa21的值．答案：（I）∵11a，且3231naann，(2,)nnN∴434312aa，1536323aa当n≥2时，有1332311nannanannn且0211a，所以数列nan是一个以2为首项，3为公比的等比数列（II）∵132nnna，∴132nnna.∴122132323322121nnnaaa()()2112321232323nn-=++++-???+?=()()22131312132nnnnnn-++-=-+-.来源：09年北京海淀月考一题型：解答题，难度：中档设数列na的前n项和为nS，且满足2+3=,2=1+1nnSSS(1,2,3,)n=.（Ⅰ）证明数列{}na是等比数列并求通项na；（Ⅱ）求数列{}nna的前n项和nT.答案：（Ⅰ）2+3=1+nnSS，132(2,3,)nnSSn-\=+=113()nnnnSSSS.即()132,3,nnaan+==.∵12S，∴12a=.又∵132nnSS，∴26a=.∴213aa=.{}na\是以2为首项，3为公比的等比数列.∴123(1,2,3,)nnan-=?.（Ⅱ）∵011121212322323nnnTaanan，∴21312322312323nnnTnn.∴2122(1333)23nnnTn.∴21312nnnT.来源：09年北京海淀月考一题型：解答题，难度：中档由正数组成的数列,nnab，若1,nnaa是关于x的方程22120nnnnxbxabb的两根，（1）求证：nb为等差数列；（2）已知122,6aa分别求数列,nnab的通项公式（3)在(2)的条件下求数列2nnb的前n项和nS答案：(1)证明:由已知得212nnnaab11nnnnnaaabb即11nnnabb2112nnnnnbbbbb故112nnnbbb从而nb为等差数列(2)由212112,0aabb得12b又212abb得2b=3nS=13(3)()2nn。。。。。。。14分来源：09年浙江宁波市月考一题型：解答题，难度：中档已知数列}{na，其中),2(3,1111Nnnaaannn,数列}{nb的前n项的和)()9(log3NnaSnnn.(1)求数列}{na的通项公式;(2)求数列}{nb的通项公式;(3)求数列|}{|nb的前n项和nT.答案：（1）)1(loglog133naann,累加得2)1()1(321loglog133nnnaan,∴2)1(log3nnan,则2)1(3nnna.(或者用累乘得an=1121n1n1nnaaaaaaa=2nn23.).....4分;（2）∵2)1(3nnna,∴)(25)9(log23NnnnaSnnn;而211Sb,当2n时,31nSSbnnn,1n时也适合,所以数列}{nb的通项公式为)(3Nnnbn.......9分;(3)当03nbn,即3n时,252nnSTnn,当03nbn，即n3时，21252)()(||||||233212121nnSSbbbbbbbbbTnnnn,综上所述).Nn,3n(212n5n),Nn,3n(2nn5T22n且且..来源：09年浙江金华市月考一题型：解答题，难度：较难已知数列).)((2,1,}{*2111Nnaaanaaannn中（I）求432,,aaa；（II）求数列nnaa的通项}{；（III）设数列).(1:,1,21}{211knbbbabbbnnnknn求证满足答案：（I）4,3,2432aaa（II）)(2)1()(2121211nnnnaaaanaaana①—②得nnaaannaaannannnnnnn1,)1(:2)1(111即所以)(),2(123121*121321Nnnannnnaaaaaaaannnn所以（III）由（II）得：01,2111211bbbbbkbbnnnnn，所以}{nb是单调递增数列，故要证：1)(1knbknb只需证若nnnnnnbbbkbbkbkbk121111,2;121,1则若显然成立则所以kbbnn1111因此：11,1211)11()11(11121kkbkkkkbbbbbbkkkk所以所以)(1knbn来源：09年四川成都市月考一题型：解答题，难度：较难观察下列三角形数表1-----------第一行22-----------第二行343-----------第三行4774-----------第四行51114115………………………假设第n行的第二个数为(2,N)nann，（Ⅰ）依次写出第六行的所有6个数字；（Ⅱ）归纳出1nnaa与的关系式并求出na的通项公式；（Ⅲ）设1,nnab求证：23bb…2nb答案：（1）第六行的所有6个数字分别是6，16，25，25，16，6；（2）依题意)2(1nnaann，22a)(......)()(134232nnnaaaaaaaa(2)(1)223......(1)22nnn，所以)2(121212nnnan；（3）因为1,nnab所以)111(222222nnnnnnbn)]111(...)3121()2111[(2......432nnbbbbn2)11(2n--15分来源：09年江苏高邮月考一题型：解答题，难度：中档已知数列{an}中，a1＝12，点(n，2an＋1－an)(n∈N)在直线y＝x上，（1）计算a2，a3，a4的值；（2）令bn＝an＋1－an－1，求证：数列{bn}是等比数列；（3）设Sn、Tn分别为数列{an}、{bn}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列{Sn＋λTnn}为等差数列？若存在，试求出λ．的值；若不存在，请说明理由．答案：(1)由题意，2an＋1－an＝n，又a1＝12，所以2a2－a1＝1，解得a2＝34，同理a3＝118，a4＝3516．(2)因为2an＋1－an＝n，所以bn＋1＝an＋2－an＋1－1＝an＋1＋n＋12－an＋1－1＝n－an＋1－12，bn＝an＋1－an－1＝an＋1－(2an＋1－n)－1＝