商人过河的数学模型及编程解决

摘要：M对商仆过河，一只船最多载N人，船上和岸上的仆人数都不能多于商人数，否则商人有危险。安排合理的渡河方案，保证商人能安全渡河。（可利用向量，矩阵，图解等方法）一．问题提出：有M对商仆乘船过河，一只船最多载N人，由商人和仆人自己划船渡河，在河的任意一岸，一旦仆人数多于商人数，仆人就可将商人杀死，谋取利益，但是乘船渡河的主动权掌握在商人们手中，商人们如何安排渡河方案，才能安全渡河？二．假设：商人和仆人都会划船，天气很好，无大风大浪，船的质量很好，船桨足够很多次的运载商人和仆人。三．参数：1．设（x，y）是状态向量，表示任一岸的商人和仆人数，并且x，y分别要大于等于0，小于等于M。2．设（m，n）是运载向量，表示运载的商人数和仆人数，0=m=N，0=n=N，0=m+n=N。3．设用s表示所有的可取状态向量的集合。4．设用d表示所有运载向量的集合。5．设用表示从此岸到彼岸，作减；用表示从彼岸到此岸，作加。Sk：表示第k步可取状态向量（sk属于s）；dk：表示第k步可取转移向量（dk属于d）；四．问题分析：商仆安全渡河问题可以视为一个多步决策过程，多步决策是指决策过程难以一次完成，而是多步优化，最后获取一个全局最优方案的决策方法。对于每一步，即船由此岸驶向彼岸，或者船由彼岸驶向此岸的决策，不仅会影响到该过程的效果，而且还会影响到下一步的初始状态，从而对整个过程都会有影响。所以，在每一次过河时，就不能只从这一次过河本身考虑，还要把它看成是整个过河过程中的一个部分。在对船上的人员做决策时，要保证两岸的商人数不能少于仆人数，用最少的步伐是人员全部过河。应用状态向量和运载向量，找出状态随运载变化的规律，此问题就转化为状态在允许范围内（即安全渡河条件），确定每一次该如何过河，从而达到渡河的目标。现在我们都把它们数量化：即用数学语言来表示。我们以3名商人为例设第k次渡河前此岸的商人数为xk，随从数为yk，k=1，2，…，xk，yk=0，1，2，3，将二维向量Sk=（xk，yk）定义为状态。安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记为S，则允许状态集合为：S={（x，y）|x=0或3，y=0，1，2，3，x=y=1，2}（1）又设第k次渡船上的商人数为uk，随从数为vk，将二维向量dk=（uk+vk）定义为决策。则允许决策集合为：D={（u，v）|u+v=1，2}（2）因为k为奇数时船从此岸驶向彼岸，k为偶数时船由彼岸驶向此岸，所以状态Sk随着决策dk变化的规律即状态转移规律是：Sk+1=Sk+（-1）kdk（3）这样，制定安全渡河方案归结为如下的多步决策问题：求决策dk∈D（k=1，2，…，n），使状态Sk∈S按照规律（3），由初始状态S1=（3，3）经有限步（设为n）到达状态Sn+1=（0，0）。模型的解答下面通过程序给出这个多步决策问题的一个解，a[1]={0，0}；a[2]={0，1}；a[3]={0，2}；a[4]={0，3}；a[5]={3，0}；a[6]={3，1}；a[7]={3，2}；a[8]={3，3}；a[9]={1，1}；a[10]={2，2}；（*以上给出10个允许的状态*）d[1]={0，2}；d[2]={2，0}；d[3]={1，1}；d[4]={0，1}；d[5]={1，0}；（*以上表示给出5个允许的决策*）i=1；j=1；k=1；s[0]=s[1]={3，3}；Print[″此岸————船上————对岸″]；Do[Do[s[i+1]=s[i]+（-1）^id[j]；t=0；Do[If[s[i+1]==a[k]，t=1]，{k，1，10}]；If[t==0，Continue[]]；（*以上是保证状态属于允许的状态*）l=Mod[i+1，2]；m=l；u=0；If[i+1=3，Do[If[s[i+1]==s[m]，u=1，Break[]]，{m，l，i-1，2}]]；If[u==0，c[i+1]=d[j]；Break[]]，{j，1，5}]；If[t==0，Print[No，Result]；Break[]]；b[i+1]={3，3}-s[i+1]；Print[s[i]，″----″，c[i+1]，″----″，b[i+1]]；If[s[i+1]=={0，0}，Break[]]，{i，1，12}]程序运行结果如下：此岸——————船上——————对岸{3，3}——————{0，2}——————{0，2}{3，1}——————{0，1}——————{0，1}{3，2}——————{0，2}——————{0，3}{3，0}——————{0，1}——————{0，2}{3，1}——————{2，0}——————{2，2}{1，1}——————{1，1}——————{1，1}{2，2}——————{2，0}——————{3，1}{0，2}——————{0，1}——————{3，0}{0，3}——————{0，2}——————{3，2}{0，1}——————{0，1}——————{3，1}{0，2}——————{0，2}——————{3，3}可以得出经过11步的渡河就能达到安全渡河的目标及满足渡河的次数尽量少的条件。这11步的渡河方案就是上面程序运行结果中船上下面的一列。渡河的整个过程如下所示：去2随从回1随从（3商人3随从）—————→（3商人1随从）—————→去2随从回1随从（3商人2随从）—————→（3商人0随从）—————→去2商人回1商人1随从（3商人1随从）—————→（1商人1随从）—————→去2商人回1随从（2商人2随从）—————→（0商人2随从）—————→去2随从回1随从（0商人3随从）—————→（0商人1随从）—————→去2随从（0商人2随从）—————→（渡河成功）一．程序实现#includestdio.h#includestring.h#includememory#includestdlib.h#includeiostreamusingnamespacestd;#includeconio.hFILE*fp;/*设立文件指针，以便将它用于其他函数中*/structa{longm,s;structa*next;};/*数组类型a：记录各种情况下船上的商人和仆人数，m：代表商人数s：代表仆人数*/structa*jj,head;/*head为头指针的链表单元（船上的人数的各种情况的链表）*/intn,total=0,js=0;/*total表示船上各种情况总数*/structaim{longm1,s1,m2,s2;intn;structaim*back,*next;};/*用于建立双向的指针链表，记入符合的情况，m1，s1表示要过岸的商人数和仆人数；m2，s2表示过岸了的商人数和仆人数，n表示来回的次数*/intk1,k2;voidfreeit(structaim*p){structaim*p1=p;p1=p-back;free(p);if(p1!=NULL)p1-next=NULL;return;}/*释放该单元格，并将其上的单元格的next指针还原*/intdeterm(structaim*p){structaim*p1=p;if(p-s1k2)return-1;/*仆人数不能超过总仆人数*/if(p-m1k1)return-1;/*商人数不能超过总商人数*/if(p-s2k2)return-1;/*对岸，同上*/if(p-m2k1)return-1;/*对岸，同上*/if(p-s10)return-1;/*仆人数不能为负*/if(p-s20)return-1;/*商人数不能为负*/if(p-m10)return-1;/*对岸，同上*/if(p-m20)return-1;/*对岸，同上*/if(p-m1!=0)if(p-s1p-m1)return-1;if(p-m2!=0)if(p-s2p-m2)return-1;/*两岸商人数均不能小于仆人数*/while(p1!=NULL){p1=p1-back;if(p1!=NULL)if(p1-n%2==p-n%2)if(p1-s1==p-s1)if(p1-s2==p-s2)if(p1-m1==p-m1)if(p1-m2==p-m2)return-1;}/*用于解决重复，算法思想：即将每次算出的链表单元与以前的相比较，若重复，则表示出现循环*/if(p-s1==0&&p-m1==0)if(p-n%2==0)return1;elsereturn-1;/*显然如果达到条件就说明ok了*/return0;}/*判断函数*/intsign(intn){if(n%2==0)return-1;return1;}/*符号函数*/voidcopyit(structaim*p3,structaim*p){p3-s1=p-s1;p3-s2=p-s2;p3-m1=p-m1;p3-m2=p-m2;p3-n=p-n+1;p3-back=p;p3-next=NULL;p-next=p3;}/*复制内容函数，将p中的内容写入p3所指向的链表单元中*/voidprint(structaim*p3){structaim*p=p3;js++;while(p-back){p=p-back;}printf(\n第%d种方法:\n,js);fprintf(fp,\n第%d种方法:\n,js);intcount=0;while(p){printf(%ld,%ld——》%ld,%ld\t,p-m1,p-s1,p-m2,p-s2);fprintf(fp,%ld,%ld——》%ld,%ld\t,p-m1,p-s1,p-m2,p-s2);p=p-next;count++;}cout一共有count步完成endl;}/*打印函数，将p3所指的内容打印出来*/voidtrans(structaim*p){structaim*p3;/*p3为申请的结构体指针*/structa*fla;inti,j,f;fla=&head;p3=(structaim*)malloc(sizeof(structaim));f=sign(p-n);for(i=0;itotal;i++){fla=fla-next;copyit(p3,p);p3-s1-=fla-m*f;p3-m1-=fla-s*f;p3-s2+=fla-m*f;p3-m2+=fla-s*f;/*运算过程，即过河过程*/j=determ(p3);/*判断，j记录判断结果*/if(j==-1){if(itotal-1){continue;}else{freeit(p3);break;}}intcount1=0;if(j==1){if(itotal-1){print(p3);count1++;continue;}else{print(p3);count1++;freeit(p3);break;}//coutcount1endl;printf(%d,count1);printf(\n);}if(j==0)trans(p3);}return;}/*转移函数，即将人转移过河*//*n=0*/voidmain(){structaim*p,*p1;intj,a,e,f;structa*flag;/*flag是用与记录头指针*/FILE*fpt;if((fpt=fopen(c:result.dat,w+))==0){printf(can′tcreatit\n);exit(0);}fp=fpt;system(cls);printf(问题描述:三个商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳X人，由他们自己划船。三个商人窃听到随从们密谋，在河的任意一岸上，只要随从的人数比商人多，就杀掉商人。但是如何乘船渡河的决策权在商人手中，商人们如何安排渡河计划确保自身安全？\n)