第四节 矩阵的特征值与特征向量

第四节矩阵的特征值与特征向量•一n维向量的概念•定义n个有顺序的数所组成的数组•称做n维向量，数称为向量•的分量（或坐标），aj叫做的第j个分量（或坐标），分量全为实数的向量称为实向量，分量是复数的向量称为复向量。naaa,,,21),,,(21naaanaaa,,,21•我们只讨论实向量。•向量一般用希腊字母表示（有时采用黑体）。•行向量：•列向量：•行向量、列向量统称为向量。,,,).,,,(21naaanaaa21•只有一行或一列的矩阵，也可称为向量。•如•的行向量为mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211),,,(21iniiiaaa).,,2,1(mi•A的列向量为•于是，矩阵有m个n维行向量，同•时有n个m维列向量。),,2,1(21njaaamjjjjnm•零向量（分量全为零）：•n维单位坐标向量：)0,,0,0(0)1,,0,0,0()0,,0,1,0()0,,0,0,1(21n•向量•与•相等•记作),,,(21naaa),,,(21nbbb),,2,1(nibaii•二n维向量的线性运算•定义设•则称•为向量与的和),,,(),,,(2121nnbbbaaa),,,(2211nnbababa•定义设•为实数，则称•为数与向量的乘积•当时，记•称它为的负向量),,,(21naaa),,,(21naaa1),,,()1(21naaa•向量的加法运算与数乘运算统称为向量的线性运算。运算律：•设都是n维向量，都是实数，则•(1)(2)•(3)(4)•(5)(6)•(7)(8),,,)()(00)(1)()()()(•注意：两个向量只有维数相同时才能考虑相等的问题，才能有和、有差。•三特征值与特征向量的概念•引例在一个n输入n输出的线性系统y=Ax中，其中•我们可发现系统A对于某些输入x，其输出y•恰巧是输入x的倍，即；对某些输入，其输出与输入就不存在这种按比例放大的关系。nnnnnnnnyyyyxxxxaaaaaaaaaA2121212222111211,,xy•例如，对系统，若输入•则•若输入，则4312A31xxAxy531515531431252xxAxy269524312•所以，给定一个线性系统A，到底对哪些输入，能使其输出按比例放大，放大倍•数等于多少？这显然是控制论中感兴趣的问题。•定义设A是一个n阶方阵，若存在着一个数和一个非零n维向量x，使得•则称是方阵A的特征值，非零向量x称•为A对应于特征值的特征向量，或简称为A的特征向量。xAx•四特征值与特征向量的求法•可改写为•这实际上是一个n个未知数n个方程的齐次线性方程组，特征向量可看成是它的一个非零解。而此齐次线性方程组有非零解的充要条件是，即•（称为方阵A的特征方程）xAx0)(xIA0IA0212222111211nnnnnnaaaaaaaaa•上述方程的左端是的n次多项式，记作，称为A的特征多项式。从A的特征方程中解出的值就是A的特征值。然后通过求解方程组就可以求出A的特征向量。)(f0)(xIA•例求矩阵•的特征值和特征向量。2561A•求特征值和特征向量的一般步骤：•（1）由•求出所有特征值•（2）求解齐次线性方程组•（为特征值），则所得非零解x必为特征•向量（它是基础解系的线性组合，且为非零向量）0IA0)(xIA•结论：•不同的特征值对应的特征向量不相等，即：一个特征向量只对应一个特征值。布置作业：•P130:1.2(3).3.