初中-八年级-等腰直角三角形中的常用模型

等腰直角三角形中的常用模型【知识精析】1、等腰直角三角形的特征：①边、角方面的特征：两直角边相等，两锐角相等（都是45º）②边之间的关系：已知任意一边长，可得到其它两边长。2、等腰直角三角形与全等三角形：以等腰直角三角形为背景的几何问题中，常常包含全等三角形，发现并证明其中的全等三角形往往是解题的关键突破口。熟悉以下基本模型，对解决等腰直角三角形问题很有好处。模型一：一条直线（不与三角形的边重合）过等腰直角三角形的直角顶点（1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形：1-1：如图：RtΔABC中，∠BAC=90º，AB=AC，点D是BC上任意一点，过B作BE⊥AD于点E，过C作CF⊥AD于点F。（1）求证：BE-CF=EF；（2）若D在BC的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。变式1：等腰Rt△ABC中，AB=CB，∠ABC=90º，点P在线段BC上（不与B、C重合），以AP为腰长作等腰直角△PAQ，QE⊥AB于E，连CQ交AB于M。（1）求证：M为BE的中点（2）若PC=2PB，求MBPC的值(2)(3)(1)DDEECCECABBAAB(2)FEDCBAABCDEF(1)（2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必定可以构造一对全等的直角三角形：1-2：如图：RtΔABC中，∠BAC=90º，AB=AC，点D是BC上任意一点，过B作BE⊥AD于点E，交AC于点G，过C作CF⊥AC交AD的延长线与于点F。（1）求证：BG=AF；（2）若D在BC的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。变式1：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=45º，∠BAC=90º，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE.变式2：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，点D是AC的中点，AF⊥BD于点E，交BC于点F，连接DF，求证：∠1=∠2。变式3：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，点D、E是AC上两点且AD=CE，AF⊥BD于点G，交BC于点F连接DF，求证：∠1=∠2。DEFFED(2)(1)CCABBAGGBACDEF(2)(1)FEDCBA模型二：等腰直角三角形与另一个直角三角形共斜边等腰直角三角形与另一个直角三角形有公共斜边，一定可以以两腰为对应边构造全等三角形2-1：连接AD，求证：∠ADB＝45°。变式1：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，E是AC上一点，点D为BE延长线上一点，且∠ADC＝135°求证：BD⊥DC。变式2：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，过C作CD⊥BE于D，DM⊥AB交BA的延长线于点M，（1）求BCABBM的值；（2）求ABBCAM的值。ABCDEF(2)(1)FEDCBA模型三：两个等腰直角三角形共一个顶点（1）两个等腰直角三角形共直角顶点，必定含一对全等三角形：3-1：如图1，△ABC、△BEF都是等腰直角三角形，∠ABC=∠BEF=90º，连接AF、CF，M是AF的中点，连ME，将△BEF绕点B旋转。猜想CF与EM的数量关系并证明；（2）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相同，必定含一对相似三角形：（3）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相反，必定可利用平移构造含一对全等三角形：如图，△ABC和△EBD都是等腰直角三角形，∠BAC=∠BED=90º。把DE平移到CF，使E与C重合，连接AE、AF，则△AEB与△AFC全等（关键是利用平行证明∠ABE=∠ACF）ABCDEABCDEEDCBA(1)(2)(3)EDCBA(3)FEDCBA(2)FF(1)ABCDE图（1）MFEBCA(3)ABCDE(2)ABCDEEDCBA(1)3-2：如图：两个直角三角形ABC、ADE的顶点A重合，P是线段BD的中点，连PC、PE。（1）如图1，若∠BAC=∠DAE=45°，当A、C、D在同一直线上时，线段PC、PE的关系是；（2）如图2、3，将⊿BAC绕A旋转α度，（1）中的结论是否仍然成立？任意选择一个证明你的结论。【经典模型】在△BAC中，AB=AC，且∠BAC=90°有一点D满足∠BDC=90°：（1）当点D在边BC下面时，试探究DB、DA和DC的大小关系？（2）当点D在边BC上面时，试探究DB、DA和DC的大小关系？推广：（1）△ABC为等边三角形，D为BC下面一点且∠BDC=120°，此时呢？（2）△ABC为等腰三角形，D为BC下面一点且∠BDC=60°，此时又如何？【猜想】在运算中是否发现DB1，DC1，DA1有某种数量上的对应关系？图1PEDCBAABCDEP图2ABCDEP图3CBADCBADABCDADCBAFBDEC【巩固练习】1．如图，在ABCRt中，ACAB,∠90BAC,D、E为BC上两点，∠45DAE，F为ABC外一点，且FB⊥BC,AEFA,则下列结论：①BFCE;②222DECEBD;③EFADSADE41;④2222AEBECE,其中正确的是A、①②③④B、①②④C、①③④D、②③2．已知：Rt⊿ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，若O是BC的中点，以O为顶点作∠MON，交AB、AC于点M、N。（1）若∠MON=90°（如图1），求证：①OM=ON；②BM2+CN2=MN2；（2）若∠MON=45°（如图2），求证：①AM+MN=CN；3.如图，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A（4，4）。（1）若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，连OD，求∠AOD的度数；图1NMOCBA图2NMOCBA（2）过A作y轴的垂线交y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连FM，等式1OFFMAM是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由。4.在△ABC和△DCE中，AB=AC，DC=DE,∠BAC=∠EDC=90°，点E在AB上，连AD，DF⊥AC于点F。试探索AE、AF、AC的数量关系；并求出∠DAC的度数。5．如图：等腰Rt△ABC和等腰Rt△EDB，AC=BC，DE=BD，∠ACB＝∠EDB＝90°，E为AB是一点，P为AE的中点。⑴连接PC，PD；则PC，PD的位置关系是；数量关系是；并证明你的结论。⑵当E在线段AB上变化时，其它条件不变，作EF⊥BC于F，连接PF，试判断△PCF的形状；在点E运动过程中，△PCF是否可为等边三角形？若可以，试求△ACB与△EDB的两直角边之比。FADBCE(2)6.已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．7.如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，4)。点N为OA上一点，OM⊥BN于M，且∠ONB=45°+∠MON。（1）求证：BN平分∠OBA；（2）求BNMNOM的值；（3）若点P为第四象限内一动点，且∠APO=135°，问AP与BP是否存在某种确定的位置关系？请证明你的结论。8.已知：PA=2，PB=4，以AB为直角边作等腰直角三角形ABD，且P、D两点在直线AB的两侧.(1)如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长;(2)当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值及相应∠APB的大小.DPBA