利用导数判断函数的单调性

利用导数判断函数的单调性回忆：什么是增函数，什么是减函数？对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的增函数.对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的减函数.思考：导数与函数单调性的关系的图像为例以函数12xyxyO归纳：导数与函数单调性的关系如果可导函数y=f(x)在x的某个开区间内，f’(x)0⇒f(x)在这个区间上是增函数；f’(x)0⇒f(x)在这个区间上是减函数；f(x)在这个区间上是增函数⇒f’(x)≥0；f(x)在这个区间上是减函数⇒f’(x)≤0；xyO3xy0x例1:判断函数f(x)=2x3+3x2-12x+1的单调性。;2,1,01266,0212xxxxxf解得即令单调递减；所以时，，当xfxfx,012单调递增；所以时，当xfxfx,02,。单调递递减区间为的单调增区间为所以1,2;,1,2,xf单调递增；所以时，当xfxfx,0,1例2:判断函数f(x)=x3+3x2+3x+1的单调性。;1,0363,02xxxxf解得即令单调递增；所以时，当xfxfx,01,单调递增；所以时，当xfxfx,0,1;,1的单调增区间为所以处有定义在因为xfxxf思考：f(x)=-x3-3x的单调区间是什么？上单调递减。在，所以因为R0332xfxxf小结：三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)单调性的类型。1：导函数f’(x)的判别式大于零，那么导f’(x)=0有两个根x1x2。当a0时，有递增区间(－∞，x1),(x2，+∞);递减区间（x1，x2）。当a0时，有递减区间(－∞，x1),(x2，+∞);递增区间（x1，x2）。2：导函数f’(x)的判别式不大于零，此三次曲线为单调函数。当a0时，函数单调递增。当a0时，函数单调递减。练习1．函数y=3x－x3的单调增区间是()(A)(0，+∞)(B)(－∞，－1)(C)(－1，1)(D)(1，+∞)答案：C练习2．函数y=x2(x+3)的减区间是，增区间是.答案：（-2,0）;(－∞，－2)和(0，+∞)例3：判断函数f(x)=x+x-1的单调性。;1,01,0|2xxxfxxxf解得令的定义域为单调递增；所以时，当xfxfx,01,单调递减；所以时，当xfxfx,00,1单调递减；所以时，当xfxfx,01,0单调递增；所以时，当xfxfx,0,11,00,1,11,，递减区间为，，的单调增区间为所以xf例4：判断函数f(x)=xlnx的单调性。;1,0ln1,0|exxxfxxxf解得令的定义域为单调递减；所以时，当xfxfex,01,0单调递增；所以时，当xfxfex,0,1，递增区间为的单调减区间为所以eexf1,1,0小结：求一个可导函数的单调区间的步骤。S1：先看函数的定义域。解方程f’(x)=0，确定临界点，把函数定义域分成几个区间。S2：判断每一个区间内的导函数的正负。如果导函数为正，那么该区间内原函数单调递增；如果导函数为负，那么该区间内原函数单调递减。S3：若相邻的几个区间单调性相同，并且在分界点上函数有定义，那么两个区间合并为一个区间，再写出原函数的所有单调区间。巩固提高答案：B巩固提高答案：D作业：全品47，48页好好学习，天天向上！