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带电粒子在磁场中运动的多解问题带电粒子在磁场中运动的多解问题带电粒子在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动的问题一般有多解。形成多解的原因有:磁感应强度是矢量。如果题设只给出磁感应强度的大小,而未指出其方向,此时要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解。2.磁场方向不确定受洛仑兹力作用的带电粒子,可能带正电,也可能带负电。当具有相同初速度时,正负粒子在磁场中的运动轨迹不同,导致形成双解。1.带电粒子电性不确定3.临界状态不惟一带电粒子在部分是磁场,部分是电场的空间运动时,运动往往具有重复性,因而形成多解。4.运动的重复性带电粒子在洛仑兹力作用下飞越有界磁场时,由于粒子运动轨迹是圆弧状,因此穿越磁场的轨迹可能有多种情况。1.带电粒子电性不确定形成多解例1.如图所示,第一象限范围内有垂直于xOy平面的匀强磁场,磁感应强度为B。质量为m,电量大小为q的带电粒子在xOy平面里经原点O射入磁场中,初速度v0与x轴夹角θ=600,试分析计算:(1)带电粒子从何处离开磁场?穿越磁场时运动方向发生的偏转角多大?(2)带电粒子在磁场中运动时间多长?受洛仑兹力作用的带电粒子,可能带正电,也可能带负电。当具有相同初速度时,正负粒子在磁场中的运动轨迹不同,导致形成双解。600v0xyO600v0xyO(1)若粒子带负电BqmvRx033BqmvRy0若粒子带正电,(2)若粒子带负电,它从O到A所用的时间为BqmTt3236011若粒子带正电,它从O到B所用的时间为BqmTt3360222.磁场方向不确定形成多解磁感应强度是矢量。如果题设只给出磁感应强度的大小,而未指出其方向,此时要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解。例2.一质量为m,电量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动,若磁场方向垂直于它的运动平面,且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的3倍,则负电荷做圆周运动的角速度可能是()mqB4mqB3mqB2mqBA.B.C.D.例2如图所示,在x0与x0的区域中,存在磁感应强度大小分别为B1与B2的匀强磁场,磁场方向均垂直于纸面向里,且B1B2.一个带负电荷的粒子从坐标原点O以速度v沿x轴负方向射出,要使该粒子经过一段时间后又经过O点,B1与B2的比值应满足什么条件?【解析】粒子在整个运动过程中的速度大小恒为v,交替地在xy平面内B1与B2磁场区域中做匀速圆周运动,轨道都是半个圆周.设粒子的质量和电荷量的大小分别为m和q,圆周运动的半径分别为r1和r2,有r1=mvqB1①r2=mvqB2②现分析粒子运动的轨迹,如图所示,在xy平面内,粒子先沿半径为r1的半圆C1运动至y轴上离O点距离为2r1的A点,接着沿半径为r2的半圆D1运动至y轴上O1点,OO1的距离d=2(r2-r1)③此后,粒子每经历一次“回旋”(即从y轴出发沿半径为r1的半圆和半径为r2的半圆回到原点下方的y轴),粒子的y坐标就减小d,设粒子经过n次回旋后与y轴交于On点,若OOn即nd满足nd=2r1④则粒子再经过半圆Cn+1就能够经过原点,式中n=1,2,3……为回旋次数.由③④式解得r1r2=nn+1(n=1,2,3……)⑤联立①②⑤式可得B1、B2应满足的条件B2B1=nn+1(n=1,2,3……)【答案】B2B1=nn+1(n=1,2,3……)分析:依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”,磁场方向有两种可能,且这两种可能方向相反。在方向相反的两个匀强磁场中,由左手定则可知负电荷所受的洛仑兹力的方向也是相反的。当负电荷所受的洛仑兹力与电场力方向相同时,根据牛顿第二定律可知RvmBqv24得mBqRv4此种情况下,负电荷运动的角速度为mBqRv4当负电荷所受的洛仑兹力与电场力方向相反时,RvmBqv22得mBqRv2此种情况下,负电荷运动的角速度为mBqRv2应选A、C。FffF3.临界状态不惟一形成多解例3.如图甲所示,A、B为一对平行板,板长为l,两板距离为d,板间区域内充满着匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向里,一个质量为m,带电量为+q的带电粒子以初速v0,从A、B两板的中间,沿垂直于磁感线的方向射入磁场。求v0在什么范围内,粒子能从磁场内射出?带电粒子在洛仑兹力作用下飞越有界磁场时,由于粒子运动轨迹是圆弧状,因此穿越磁场的轨迹可能有多种情况。mv0ABdl+q甲mBdqv40qBmvr0mrBqv0由于所以分析:当粒子从左边射出时,若运动轨迹半径最大,则其圆心为图中O1点,半径r1=d/4。因此粒子从左边射出必须满足r≤r1。v0d/2O1乙lr1r2-d/2r2v0d/2O2乙ldldrldrr222222242,)(dmqB)ld(v44220mqBlvmqBlv44500或即练1一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B,方向垂直纸面向里的匀强磁场,矩形区域的左边界ad宽为L,现从ad中点O垂直于磁场射入一带电粒子,速度大小为v0,方向与ad边夹角为30°,如图所示。已知粒子的电荷量为q,质量为m(重力不计)。(1)若粒子带负电,且恰能从d点射出磁场,求v0的大小;(2)若粒子带正电,使粒子能从ab边射出磁场,求v0的取值范围以及粒子在磁场中运动时间t的范围。abcd300v0BO解:(1)粒子带负电,由图可知:abcd300v0BOR=L/2据RmvqvB20则mqBLmqBRv20(2)当v0最大时:600abcd300v0BO26011LcosRR得R1=L则mqBLmqBRvmax1当v0最小时:23022LsinRR得R2=L/3则mqBLmqBRvmin32mqBLvmqBL03maxv带电粒子从ab边射出磁场,当速度为时,运动时间最短,600abcd300v0BOBqmTtmin65360150速度为vmin时运动时间最长,BqmTtmax34360240∴粒子运动时间t的范围BqmtBqm3465练2.如图所示,现有一质量为m、电量为e的电子从y轴上的P(0,a)点以初速度v0平行于x轴射出,为了使电子能够经过x轴上的Q(b,0)点,可在y轴右侧加一垂直于xOy平面向里、宽度为L的匀强磁场,磁感应强度大小为B,该磁场左、右边界与y轴平行,上、下足够宽(图中未画出).已知,L<b。试求磁场的左边界距坐标原点的可能距离.(结果可用反三角函数表示)xy0Qv0PeBmvaeBmv002解:设电子在磁场中作圆周运动的轨道半径为r,则rvmeBv200①解得②eBmvr0⑴当rL时,磁场区域及电子运动轨迹如图1所示,θθxy0Qv0P图1由几何关系有③0mveBLrLsin则磁场左边界距坐标原点的距离为cot)]cos(ra[Lbx11④cot)]cos(eBmva[Lbx101(其中)⑤0mveBLarcsin②当rL时,磁场区域及电子运动轨迹如图2所示,xy0Qv0P图2由几何关系得磁场左边界距坐标原点的距离为222)(rarbx解得⑦2022aeBamvbx4.运动的重复性形成多解带电粒子在部分是磁场,部分是电场的空间运动时,运动往往具有重复性,因而形成多解。例题1例题2【变式题1】如图632所示,在空间中有一坐标系Oxy,其第一象限内充满着两个匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ,直线OP是它们的边界,区域Ⅰ中的磁感应强度为B,方向垂直纸面向外;区域Ⅱ中的磁感应强度为2B,方向垂直纸面向内,边界上的P点坐标为(4L,3L).一质量为m电荷量为q的带正粒子从P点平行于y轴负方向射入区域Ⅰ,经过一段时间后,粒子恰好经过原点O(忽略粒子重力),已知sin37°=0.6,cos37°=0.8.求:图632(1)粒子从P点运动到O点的时间至少为多少?(2)粒子运动的周期?(3)粒子的速度大小可能是多少?【解析】(1)设粒子的入射速度为v,用R1,R2,T1,T2分别表示粒子在磁场Ⅰ区和Ⅱ区中运动的轨道半径和周期.则qvB=m,qv2B=mT1==,T2==粒子先在磁场Ⅰ区中做顺时针的圆周运动,后在磁场Ⅱ区中做逆时针的圆周运动,然后从O点射出,这样粒子从P点运动到O点所用的时间最短.21vR22vR12Rv2mqB22RvmqB粒子运动轨迹如图所示.tana==0.75,得а=37°а+β=90°粒子在磁场Ⅰ区和Ⅱ区中的运动时间分别为t1=T1t2=T2粒子从P点运动到O点的时间至少为t=t1+t2由以上各式解得t=34LL236023605360mqB(2)粒子运动的周期5360mqBT=(3)粒子的速度大小满足一定条件时,粒子先在磁场Ⅰ区中运动,后在磁场Ⅱ区中运动,然后又重复前面的运动,直到经过原点O.这样粒子经过n个周期性的运动直到过O点,每个周期的运动情况相同,粒子在一个周期内的位移为x===(n=1,2,3…)粒子每次在磁场Ⅰ区中运动的位移为x1=x=x由图中几何关系可知:=cosa由以上各式解得粒子的速度大小为v=(n=1,2,3…)OPn2243LLn5Ln112RRR23112xR2512qBLnm【变式题2】如图642所示,直线MN下方无磁场,上方空间存在两个匀强磁场,其分界线是半径为R的半圆,两侧的磁场方向相反且垂直于纸面,磁感应强度大小都为B.现有一质量为m、电荷量为q的带负电微粒从P点沿半径方向向左侧射出,最终打到Q点,不计微粒的重力.求:(1)微粒在磁场中运动的周期.(2)从P点到Q点,微粒的运动速度大小及运动时间.【解析】(1)洛伦兹力提供向心力Bv0q=mT=,T=20vr02rv2mBq(2)粒子的运动轨迹将磁场边界分成n等分(n=2,3,4……)如右图1、2、3所示:由几何知识可得:=,tan=,Bv0q=m得v0=tan(n=2,3,4……)2nrR20vrBqRm2n当n为偶数时,由对称性可得t=T=(n=2,4,6……);当n为奇数时,t为周期的整数倍加上第一段的运动时间,即t=T+T=(n=3,5,7……)2nnmBq12n/2n21nmnBq【变式题3】如图所示,空间某平面内有一条折线是磁场的分界线,在折线的两侧分布着方向相反、与平面垂直的匀强磁场,磁感应强度大小都为B。折线的顶角∠A=90°,P、Q是折线上的两点,AP=AQ=L。现有一质量为m、电荷量为q的带负电微粒从P点沿PQ方向射出,不计微粒的重力。求:(1)若P、Q间外加一与磁场方向垂直的匀强电场,能使速度为v0射出的微粒沿PQ直线运动到Q点,则场强为多大?(2)撤去电场,为使微粒从P点射出后,途经折线的顶点A而到达Q点,求初速度v0应满足什么条件?(3)求第(2)中微粒从P点到达Q点所用的时间。QvPBBAQvPBBAn取偶数n取奇数⑴由电场力与洛伦兹力平衡得:qE=qv0B得:E=v0B(3分)⑵根据运动的对称性,微粒能从P点到达Q点,应满足Lnx其中x为每次偏转圆弧对应的弦长,偏转圆弧对应的圆心角为或232设圆弧的半径为R,则有2R2=x2,可得:2LRn2vqvBmR2qBLvmnn=1、2、3、……(⑶当n取奇数时,微粒从P到Q过程中圆心角的总和为13222nnn122mmtnnqBqB其中n=1、3、5、……当n取偶数时,微粒从P到Q过程中圆心角的总和为222nnn2mmtnnqBqB其中n=2、4、6、……【变式题4】如图19所示,在直线MN右侧正方形ABCD区域内、外分布着方向相反且与平面垂直的匀强磁场Ⅰ和Ⅱ,磁感应强度的大小都为B.正方形边长为L,AB边与直线MN方向夹角为450.现有一质量为m、电荷量为q的带负电的微粒通过小孔O进入PQ与MN间的加速电场区域(进入时可认为初速度为零),微粒经电场加速后从正方形ABCD区域内的A点进入磁场,微粒进入磁场的速度垂直MN,
本文标题:带电粒子在磁场中的多解问题
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