二维随机变量6

1第三章随机向量2§3.1二维随机变量也称为n元随机向量。n1nxxR(,...,)其中1nn2x,...,xn1n1定义称F(x,...,x)=P()为元随机变量的分布函数。12n1n11nn1n1(ξ,ξ,...,ξ),nx,...,x,ξx,...,ξxn(ξ,...,ξ)n定义若每次试验的结果对应着一组确定的实数它们是随着试验结果不同而变化的个变量，并且对任何一组实数事件有确定的概率，则称为个随机变量的整体为一个元随机变量。3(一)离散型把(ξ，η)的所有可能取值与相应概率列成表，称为(ξ，η)的联合概率分布表。ηξ......21jyyyx1x2…xi…1j1112ij2122iji1i2ppppppppp................................................定义3如果二元随机变量(ξ，η)所有可能取的数对为有限或可列个，并且以确定的概率取各个不同的数对，则称(ξ，η)为二元离散型随机变量。4也可用一系列等式来表示P(ξ=xi,η=yj)=pij,,(i,j=1,2,…)称为ξ与η的联合分布律。联合分布有如下性质：(1)pij≥0ijij2p1,()例1同一品种的5个产品中，有2个正品。每次从中取1个检验质量，不放回地抽取，连续2次。设“ξk=0”表示第k次取到正品，而“ξk=1”为第k次取到次品。(k=1,2)写出(ξ1,ξ2)的联合分布律。5解：试验结果由4个基本事件组成。P(ξ1=0,ξ2=0)=P(ξ1=0)P(ξ2=0|ξ1=0)4152=0.1P(ξ1=0,ξ2=1)4352=0.3P(ξ1=1,ξ2=0)4253=0.3P(ξ1=1,ξ2=1)4253=0.3列成联合概率分布表：ξ2ξ101010.10.30.30.36(二)连续型xy(,)称为与的联合概率密度。它有性质：1xyxy0(),,(,)对一切实数2xydxdy1()(,)对任意平面区域D,DPDxydxdy((,))(,)bdacPabcdxydydx(,)(,)特别地，4(x,y),(,)xy-定义若存在一个非负函数使得二元随机变量的分布函数F(x,y),对任意x,y都有F(x,y)=(s,t)dtds则称(,)是二元连续型随机变量。72xyx0x10y2xy301已知其它求P()()例P5及,(,)(,):解：P(ξ+η1)xy1xydxdy(,)12201xxydxxdy3()6572同样地P(ηξ)yxxydxdy(,)1220xxydxxdy3()17242110xy2110xy8(,)若二元连续型随机变量的联合概率密度为22112222212121(x)(x)(y)(y)22(1p)2121(x,y)e21121212,,,0,0,||1其中,均为常数，221212,,,,,,称()服从二元正态分布记作()N()1可以验证(x,y)dxdy93.4边缘分布(){}{,}(,)XFxPXxPXxYFx(){}{,}(,)YFyPYyPXYyFy3.4.1边缘分布函数10若已知联合分布，则P(ξ=xi)ijjPxy(,)ijjp记作i=1,2,…P(η=yj)ijip记作j=1,2,…iiipp1均为非负，且gg表示联合概率表中第i行各概率之和,称为x的边缘概率密度。它表示，不论η取何值，ξ取值xi的概率ipgjpgipg的含义类似，jpg称为y的边缘概率密度。边缘概率密度11例2将两封信随机地往编号为I、II、III、IV的4个邮筒内投。ξi表示第i个邮筒内信的数目(i=1,2)写出(ξ1，ξ2)的联合分布以及ξ1，ξ2的边缘分布。解：试验共有42种不同的等可能结果。00124pP0016(,)pP(,)01124011610014pp16p1121602201pp16p12=p21=p22=012列成联合分布表：ξ1ξ2012001610162164161164164210916616116ip961161616jp即边缘分布为2012961161616101296116161613xFxPxdsstdt()(,)(,)yFyPydtstds()(,)(,)分别称为二元随机变量(ξ，η)中关于ξ及关于η的边缘分布函数。求导可得相应的概率密度：1xxydy()(,)是关于ξ的边缘概率密度。2yxydx()(,)是关于η的边缘概率密度。x1Fxsds()()而y2Fytdt()()141axb,cyd(ba)(dc)(6,)(x,y)已知0其它称为二元连续型均匀分布。求边缘。例概率密度:解：当axb时1xxydy()(,)cdcd10dydy0dybadc()()1ba在其它点1xxydy()(,)0dy＝011axb(x)ba0故其它21cyd(y)dc0同理其它152xyx0x1,0y2(,)(x,y)307已知其它求关于和的边。例缘概率密度:解：当0≤x≤1时1xxydy()(,)02202xy0dyxdy0dy3()＝222xx31+当x0或x1时,(x)=0dy=02122xx0x1(x)30故其它同理可求出211y0y2(y)360其它16对于二元随机变量(ξ，η)，若P(η=yj)0，称pij/p·j(i=1,2,…)为在η=yj条件下关于ξ的条件分布。ijijjpP(x|y)i1,2,...pg显然P(ξ=xi|η=yj)是非负的，且对所有i，它们的和为1同样，若pi0ijjiipP(y|x)j,,...p12g称为在ξ＝xi条件下关于η的条件分布。p(η=yj|ξ=xi)是非负的，且对所有j，它们的和为1记为条件分布1、当（X，Y）为离散型随机变量时17例3求出例2中在ξ2＝1条件下关于ξ1的条件分布。解：ξ1ξ2012001610162164161164164210961161616jp01121pP(0|1)pg643211121pP(1|1)pg623121121pP(2|1)pg＝0故ξ2＝1时，ξ1的条件分布为1120121P133(|)18例4反复掷一颗骰子，直到出现小于5点为止。ξ表示最后一次掷出的点数，η表示投掷次数。求(ξ，η)的联合分布律，边缘分布律及条件分布。解：ξ的取值是1，2，3，4η的取值是1，2，…“ξ=i,η＝j”表示掷了j次，而最后一次掷出i点。前j-1次掷出5点或6点。由于各次掷骰子是相互独立的。j121Pij66(,)故联合分布表为19ξη2j12j12j12j1123...j...12121211......666666612121212......666666612121213......666666612121214......6666666414141412j1j4242424p......6666666条件分布为：ipg2012341111Pj4444(|)j112j42424Pi66666......(|)......212、当（X，Y）为连续型随机变量时)(),()(xfyxfxyfXXY类似地可定义：为在条件)(),()/(/yfyxfyxfYYX同理称为在条件Y=y下X的条件概率密度.xX下Y的条件概率密度.22例1:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为其他,00,0,6),(32yxeyxfyx.)(xyfXY求)(xyfXY解：)(),(xfyxfXyxyxeee323232623(三)随机变量的相互独立性判断独立的充要条件：XYi,j1,2,...离散型与独立对一切XY连续型与独立对任何实数x,yXYf(x,y)f(x)f(y)XY5x,y,(X,Y)F(x,y)XYF(x,y)F(x)F(y)XY定义对于任何实数如果二元随机变量的联合分布函数等于和的边缘分布函数的乘积，即则称随机变量与相互独立。ijijppp24例8在例2中ξ1与ξ2是否相互独立？解：已经得到ξ1ξ2012001610162164161164164210916616116ip961161616jp1101616由于2222ppp即gg故ξ1与ξ2不是相互独立的。25例9掷两颗骰子，用ξ与η分别表示第一颗与第二颗的点数。ξ与η是否独立。123456111111136363636363611111123636363636361111113363636363636111111436363636363611111153636363636361111116363636363636ξηip161616161616g可见对所有i,j有故ξ与η是相互独立的。111111666666jpgijijppp26例10例6中的随机变量ξ与η是否相互独立？axb,cyd01由(x,y)=(b-a)(d-c)其它解：11axb(x)ba0其它21cyd(y)dc0其它可见，对任何x,y有12xyxy(,)()()故ξ与η相互独立。272xyx0x1,0y2(x,y)30其它解：2122xx0x1(x)30其它211y0y2(y)360其它12xyxy(,)()()由于故ξ与η不独立。例11例7中的随机变量ξ与η是否相互独立？28§3.7随机变量函数的分布1.Z=X+Y2.Z=max{X,Y}和Z=min{X,Y}对于二维连续型随机向量（X,Y）本节只考虑以下两种函数关系：注：其中X和Y相互独立。29连续函数的卷积公式设连续随机变量X与Y独立，则Z=X+Y的密度函数为()()()d=()()dZXYXYfzfxfzxxfzyfyy30离散函数的卷积公式设离散随机变量X与Y独立，则Z=X+Y的分布律为11)()()()()(=liliiljjjPXxPYzxPXzyPYyPZz31卷积公式的应用X与Y是独立同分布的标准正态变量，求Z=X+Y的分布.()()()dZXYfzfxfzxx解：2211()expexp2222dxzxx21exp2222z所以Z=X+YN(0,2).进一步的结论见后32设X与Y独立，X～U(0,1),Y～Exp(1).试求Z=X+Y的密度函数.解:11,01~()0,xXfx其它2,0~()0,0yeyYfyy12()()()dZfzfxfzxx被积函数的非零区域为：0x1且zx0用卷积公式：(见下图)33