第十五章 虚位移原理1

•系统的约束及其分类•自由度与广义坐标•虚位移及其计算•虚功和理想约束•虚位移原理及其应用•以广义力表示质点系的平衡条件平衡的稳定性第十五章虚位移原理引言静力学中以力的平行四边形法则和二力平衡公理为基础研究了刚体和刚体系统的平衡，该部分内容称为几何静力学。由几何静力学建立的平衡条件，对刚体的平衡是必要与充分的，但对任意质点系来说，仅仅是必要的而不一定是充分的。下面所介绍的虚位移原理，是用分析的方法来研究任意质点系的平衡问题。这部分内容称为分析静力学。虚位移原理给出的平衡条件，对于任意质点系的平衡都是必要与充分的，因此它是解决质点系平衡问题的普遍原理。同时，将虚位移原理和达朗伯原理相结合，可以导出动力学普遍方程和拉格朗日方程，从而得到求解质点系动力学问题的又一个普遍的方法。15.1系统的约束及其分类限制质点系中各质点的位置和运动的条件称为约束。表示这些限制条件的表达式称为约束方程。根据约束形式及其性质，约束可分以下类型：一、几何约束与运动约束限制质点或质点系在空间的几何位置的约束称为几何约束。如：Oxy),(yxMl222lyxO),(AAyxA),(BByxBrlxy0)()(222222BABABAAylyyxxryx几何约束方程的一般形式为0),,,,,,(111nnnrzyxzyxf系统的约束及其分类不仅能限制质点系的位置，而且能限制质点系中各质点的速度的约束称为运动约束。),(BByxBBvOxyCrryB为几何约束方程。0rxB为运动约束方程。运动约束方程的一般形式为0),,,,,,,,,,,,,(111111nnnnnnrzyxzyxzyxzyxf二、定常约束与非定常约束约束条件不随时间变化的约束称为定常约束。约束条件随时间变化的约束称为非定常约束。如Oxy),(yxMu0l其约束方程为2022)(utlyx15.1系统的约束及其分类非定常约束方程的一般形式为0),,,,,,,(111tzyxzyxfnnnr三、双面约束与单面约束同时限制质点某方向及相反方向运动的约束称为双面约束。只能限制质点某方向的运动，而不能限制相反方向运动的约束称为单面约束。其约束方程的一般形式为0),,,,,,(111nnnrzyxzyxf四、完整约束与非完整约束几何约束或其约束方程能够积分的运动约束称为完整约束。如果在约束方程中显含坐标对时间的导数，并且不可以积分，这种约束称为非完整约束。本章只研究定常的双面的完整的几何约束问题。15.1自由度与广义坐标对于一个自由质点，要确定它在空间的位置，需要三个独立的直角坐标。对于由n个质点组成的自由质点系，则需要3n个独立的直角坐标来确定每个质点在空间的位置。但对于非自由质点系来说，由于约束的存在，3n个坐标就不都是相互独立的，它们必须满足约束方程。例如：O),(AAyxA),(BByxBrlxy确定具有完整约束的质点系位置所需要独立坐标的个数称为该质点系的自由度数，简称自由度。图示机构具有一个自由度。在一般情况下，若质点系由n个质点组成，受到s个几何约束，且，则在3n个坐标中只有ns3个坐标是独立的，因此即为该质点系的自由度。而对于平面问题。snN3NsnN2一、自由度15.2自由度与广义坐标用来确定质点系位置的独立参变量称为该质点系的广义坐标。在完整约束的情况下，质点系广义坐标的数目等于该质点系的自由度。Oxy2l1l),(AAyxA),(BByxB例如，图示双摆，有两个自由度，可取，为广义坐标来确定系统的位置。121211sinlxA11coslyA2211sinsinllxB2211coscosllyB二、广义坐标15.2自由度与广义坐标在一般情况下，若由个质点组成的质点系，具有个自由度，取为广义坐标。对于定常的完整约束，质点系中各个质点的矢径及其直角坐标可以写成如下的广义坐标的函数形式nNNqqq,,,21),,2,1(ni),,,(),,(),(212,1,2,1NiiNiiNiiqqqzzqqqyyqqqxx),,,(21Niiqqqrr),,2,1(ni必须指出，广义坐标的选取不是唯一的，要根据解题的方便任意选取，广义坐标的单位可以是长度，也可以是角度。但广义坐标必须具备两个条件：一是所选取的一组广义坐标能够完全确定质点系的位置，二是各广义坐标之间必须相互独立。15.215.3虚位移及其计算一、虚位移的概念在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，可能实现的任何微小的位移，称为该质点系的虚位移。Oxy),(yxMrOABxyArBr二、虚位移和实位移的异同1、虚位移和实位移都受约束的限制，是约束所允许的位移。2、实位移是在一定的力作用下和给定的运动初始条件下，在一定的时间内发生的位移，具有确定的方向，即实位移是唯一的。虚位移不牵涉到系统的实际运动，也不涉及到力的作用，与时间和运动的初始条件无关，即虚位移不是唯一的。虚位移用表示。r15.3虚位移及其计算3、实位移可能是微小值，也可能是有限值。虚位移一定是微小值。4、在定常约束的情况下，微小实位移必定是虚位移中的一个。在非定常约束的情况下，实位移与虚位移没有关系。),,,(21Niiqqqrr),,2,1(ni5、实位移、虚位移与矢径的关系微小实位移与矢径是微分关系NNiiiidqqrdqqrdqqrrd2211NNiiiiqqrqqrqqrr2211虚位移与矢径是变分关系AB15.3虚位移及其计算三、虚位移的计算1、几何法（1）比例法OAOBrrOBrOArABBA即oAB（2）投影法cosBArCOSrArBrBrAr这里仅讨论定常约束的情形。在此条件下，真实位移是虚位移中的一个。因此可以用求实位移的方法来求各质点虚位移之间的关系。这种方法又称虚速度法。ABArBr15.3虚位移及其计算二、虚位移的计算1、几何法（1）比例法OAOBrrOBrOArABBA即oAB（2）投影法cosBArCOSrBrAr（3）瞬时法ABArBrCCBrCArBA15.3虚位移及其计算解法二：瞬时法OlABArBrCtanCACBrrCBrCArABBA即OlABArBrcos)90cos(BArrtanABrr椭圆规机构如图，求A、B两点的虚位移关系。解法一：投影法例115.3虚位移及其计算2、解析法解析法是利用对约束方程或坐标表达式进行变分以求出虚位移之间的关系。NkkkiiNkkkiiNkkkiiNkkkiiqqrrqqzzqqyyqqxx1111),,2,1(ni式中，称为广义虚位移。上式表明，质点系的虚位移都可以用质点系的广义虚位移表示。kq15.3虚位移及其计算),(AAyxA),(BByxBxyOAyBxl解法一：椭圆规机构如图，坐标AByx,有约束方程222lyxAB对上式进行变分运算得022AABByyxxtanBAABxyyx椭圆规机构如图，求A、B两点的虚位移关系。例115.3虚位移及其计算),(AAyxA),(BByxBxyOAyBxl选取为广义坐标，则表示为。AByx,coslxBsinlyA作变分运算sinlxBcoslyA所以tanAByx比较以上方法，可以发现，几何法直观，且较为简便，而解析法比较规范。解法二：用坐标表达式进行变分以求出虚位移之间的关系。15.2自由度与广义坐标Oxy2l1l),(AAyxA),(BByxB例2如图所示双摆，试确定系统的虚位移。1211sinlxA11coslyA2211sinsinllxB2211coscosllyB12解：该系统有两个自由度，可取，为广义坐标并用来确定系统的位置。11121coslxxkkkAA11121sinlyykkkAA22211121sinsinllyykkkBB22211121coscosllxxkkkBB15.4虚功和理想约束MFr如图所示，设某质点受力作用，并给该质点一个虚位移，则力在虚位移上所作的功称为虚功，即FFrrrFW或rFWcos显然，虚功也是假想的，它与虚位移是同阶无穷小量。1、如果在质点系的任何虚位移中，所有的约束反力所作虚功的和等于零，则这种约束称为理想约束。其条件为0iNiNrFW2、常见的理想约束有：支承质点或刚体的光滑固定面、连接物体的光滑铰链、连接两个质点的无重刚杆、连接两个质点不可伸缩的绳索、无滑动的滚动。一、虚功二、理想约束)(iziiyiixizFyFxFrFW15.5虚位移原理及其应用具有双面、定常、理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的、必要与充分条件是：所有作用于质点系上的主动力，在该位置的任何虚位移中所作的虚功之和等于零。其数学表达式为0iirF或0cosiiirF或用解析式表示为0)(iziiyiixizFyFxF以上三式称为虚功方程。虚位移原理也称虚功原理。一、虚位移原理15.5虚位移原理及其应用1、求主动力之间的关系二、虚位移原理的应用2、求系统的平衡位置3、求结构约束反力4、求静定桁架杆件的内力15.5虚位移原理及其应用OABPQ1、求主动力之间的关系例3图示机构中，已知OA=AB=l，AOB，如不计各构件的重量和摩擦，求在图示位置平衡时主动力与的大小之间的关系。PQ解1：以系统为研究对象，受的主动力有、。PQBrArC由虚位移原理0iirF，得0cosBArQrPAB作平面运动，瞬心在点，则Csin2sin2llACBCrrAB将以上关系代入前式得0)sin2cos(ArQP由于，于是得0Artan2QP给系统一组虚位移如图，寻找虚位移的关系。15.5虚位移原理及其应用OABPQBrAr解2：解析法。建立如图坐标。xy由于PXAQYB且sinlxAcos2lyB对上两式作变分，得coslxAsin2lyB由0)(iiiiiizZyYxX，得0BBAAyYxX即0)sin2)((cos)(lQlP由于，于是得0tan2QP15.5虚位移原理及其应用OxyPQABKCla例4图示机构中，当曲柄OC绕轴摆动时，滑块A沿曲柄自由滑动，从而带动杆AB在铅垂导槽K内移动。已知OC=a，OK=l，在C点垂直于曲柄作用一力，而在B点沿BA作用一力。求机构平衡时，力与的关系。PPQQ解1：（几何法）以系统为研究对象，受的主动力有、。PQCrArerrr其中reArrr由虚位移原理0iirF，得0CArQrP式中arC2coscoslrreA故有0cos2QalP由于，于是得0给系统一组虚位移如图，寻找虚位移的关系。PalQ2cos15.5虚位移原理及其应用解2：解析法。建立如图坐标。OxyPQABKCla主动力作用点的坐标及其变分为ltgyA2cosl