第十四章 电磁感应电磁场

大学物理第十四章电磁感应电磁场主讲:王世范目录§14-1电磁感应定律§14-2动生电动势和感生电动势§14-3自感和互感§14-5磁场的能量§14-6位移电流电磁场基本方程的积分形式主要内容:1.电动势的定义dEdEABkLk，表示电源电动势的大小等于把单位正电荷从负极经电源内部移至正极时非静电力所作的功。2.法拉第(M.Faraday，1791-1867)电磁感应定律I=ddt。3.感应电动势～可根据产生的机理进一步分成动生电动势和感生电动势。4.自感和互感。5.磁场的能量。基本要求：1.掌握法拉第电磁感应定律。理解动生电动势及感生电动势。2.了解自感系数和互感系数(定义、物理意义、会计算)。3.了解磁能密度的概念，能计算磁场中贮存的场能。了解电磁场的物质性。4.了解涡旋电场、位移电流的概念以及麦克斯韦方程组(积分形式)的物理意义。§14-1电磁感应定律一.电磁感应现象1820年，丹麦物理学家奥斯特发现了电流的磁效应，揭示了长期以来一直认为是彼此独立的电和磁之间的联系。法拉第认为，各种自然力具有统一性。经10年的努力，他把可以产生感应电流的情况概括成五类：⑴变化着的电流；⑵变化着的磁场；⑶运动的恒定电流；⑷运动的磁铁；⑸在磁场中运动的导体。他把这种现象正式定名为电磁感应。法拉第指出：感应电流并不是与原电流本身有关，而是与原电流的变化有关。感应电流是由与导体性质无关的感应电动势产生的。即使不形成闭合回路，这时不存在感应电流，但感应电动势确仍然有可能存在。二.楞次定律(Lenzlaw)闭合回路中感应电流的方向，总是使得它所激发的磁场来阻止引起感应电流的磁通量的变化(增大或减小)。可以使用此定律判定感应电流的方向或感应电动势的方向(如果不是导体回路，可以先假设其为导体回路，由所得感应电流的方向进而判定感应电动势的方向)。BiIiI×××v×××I增大I减小三.电源电动势在静电力的作用下，正电荷只能由高电势处移向低电势处。要想将正电荷反向移动，必须依靠某种与静电力本质不同的非静电力。能够提供这种非静电力的装置称为电源。在非静电力场中引入等效的电场强度：qFEkk，表示作用在单位正电荷上的非静电力，式中kF表示作用在点电荷q上的非静电力。定义：单位正电荷沿闭合回路一周，非静电力所作的功为电源的电动势LkdE。四.法拉第电磁感应定律(Faradaylawofelectromagneticinduction)电动势是个标量，但习惯上常提到它的方向，确切地说是指非静电场强kE的方向。沿电动势的方向电势升高，也即由低电势指向高电势。对于任意的闭合回路(真实、假想、导体、非导体，平面或非平面回路)，当穿过回路的磁通量发生变化时，回路中就会产生感应电动势(或感应电流)。法拉第指出：感应电动势的大小与通过该回路的磁通量的时间变化率成正比i=ddt。注意：1.不论什么原因，只要穿过回路的磁通量有变化，就会产生感应电动势。2.式中的负号“－”是楞次定律的数学表示。3.对每匝中穿过磁通量分别为1，2，…N的N匝回路，因匝与匝之间串联，则整个回路的电动势为：=1+2+…+N=d(1+2+…+N)dt=ddt。式中=1+2+…+N称为磁通匝链数，简称磁链。当穿过各匝的磁通相同时，均为，即=N，则有：=ddt=Nddt。若t1、t2瞬时磁通量分别为1、2，由电流强度I=dqdt，可得在t2t1时间间隔内通过回路中任一截面上的总感应电量：4.对导体闭合回路，则有感应电流：dtdR1RIi，或dtdR1Ii。12112121RdRdtIqttii可见，感应电量只与磁通量的增量有关，与时间变化率无关(与改变的快慢无关)。5.使用法拉第电磁感应定律求解问题的解题步骤：⑴对于给定的闭合回路(对非闭合线路，可加辅助线使之闭合)，自行规定绕行正方向，即满足右手螺旋关系的正法线方向。为方便起见，通常所规定的正方向使得磁通量0。⑵求出磁通量SSdB，式中积分区域S是以回路L为边界的任意曲面，(因为0SdB，可证，穿过以L为边界的任意曲面的磁通量相等，为了方便常取平面)。对于N匝回路，再求出磁链，通常=N。⑶将所得磁通量对时间求导数可得感应电动势=ddt或=ddt=Nddt。⑷当计算结果①0时，则感应电动势的方向沿规定的正方向；②0时，则感应电动势的方向沿规定的反方向。可利用楞次定律检验所得方向是否正确。⑸根据感应电动势的方向，得到各点电势的高低。例1：一矩形线圈，自无场区匀速平移穿过均匀磁场区，画出感应电流i随时间的变化曲线。线圈××iv××IIot或ot例2：如图,振动杆的一端固定N匝矩形线圈,y方向宽度为b,其一部分在均匀磁场B中,设杆的微小振动规律为x=Acost。则线圈振动时,线圈中的感应电动势i=__________________。××××y××××振动杆××××解：建立坐标如图，图中虚线为线圈t=0时位置，此时磁场内线圈长度为，红线为t瞬时位置x。取顺时针为正绕行方向，磁链=N=N(x)bB，∴i=ddt=NbB(dxdt)=NbBA(sint)=NbBAcos(t+2)。例3：电量Q均匀分布在一半径为R、长为L(LR)的绝缘长圆筒上；一单匝矩形线圈的一个边与圆筒的轴线重合，如图。若筒以角速度=o(1tto)线性减速旋转，则线圈中的感应电流为______。解：取逆时针为绕行正方向，B与n夹角为2，∴=0，i=0。例4：(a)两相互绝缘圆线圈，直径重合，线圈平面相互垂直，如图。当B中电流变化时，A线圈中的感应电流为____。(b)一无限长直电流I，过一圆线圈直径，两者绝缘，如图。当圆线圈匀速转动时，线圈中的感应电流为_____。BAI(a)例4图(b)都填：无感应电流。例5：一半径为a的圆线圈置于均匀磁场B中，线圈平面法线垂直于B，其电阻为R。转动线圈使其法线方向于B的夹角=60时，则线圈中已通过的电量，与线圈面积______(成正比，成反比，无关)；与转动的时间______(成正比，成反比，无关)。解：q=(12)R=(BSBScos60)R=BS(2R)，与线圈面积成正比与时间无关。例6：在长直电流I旁放一与之共面的直角三角形ABC。平行于直电流的AC边长为b，垂直于直电流的BC边长为a，斜边AB长为c，如上图所示。若线圈以速度v垂直于直电流向右平移，求B端点与直电流相距为d时，三角线圈内感应电动势的大小和方向。解：建立坐标如图原点在长直电流导线上，则斜边方程为y=(bxa)(bra)，其中取t瞬时线圈左端距直电流为r(图中瞬时r=d)。则磁通量为dxxr1a2bIdxrxabx12Iydxx2ISdBrarooorralnraa2bIo∴dtdrraarralna2bIdtdoi，∵dr，vdtdr∴daaddalna2bIvoi。讨论：1.因电流强度I不随时间变化，则周围的磁场也不变化，线圈中的感应电动势是由于其相对于磁场的运动而产生，特称之为动生电动势(motionalelectromotiveforce)。2.若本题中的电流强度I=Iocost，则t瞬时磁通量仍为上式，式中I=I(t)，r=r(t)。∴dtdrrdtdIIidtdrraarralna2bIdtdIrralnraa2boodaaddalna2bvtsinddalnraa2bIooo·Iocost，上式中的第一项是将位置变量r视为常量，电流强度I作为变量(磁场变化)，对时间求导所得；相当于在静止回路中,因磁场的变化而产生的电动势,称之为感生电动势(inducedelectromotiveforce)。第二项是将电流强度I视为常量(磁场不变)，位置r作为变量，对时间求导所得；相当于在不变的磁场内，运动的导体中产生的电动势，称之为动生电动势。在最后一步中代入了关系I=Iocost，r=d，drdt=v。第十四章作业1(共5题)1.如本题图所示，在一长直导线L中通有电流I，ABCD为一矩形线圈，试确定在下列情况下，ABCD上的感应电动势的方向：(1)矩形线圈在纸面内向右移动；(2)矩形线圈绕AD轴转动；(3)矩形线圈以直导线为轴旋转。2.在有磁场变化着的空间，如果没有导体，那么在此空间有没有电场？有没有感应电动势？I9cm1cm题3图ADIBCL题1图av=0t=0bht=t1y=0×t=t2××××B××题4图Badbc题5图3.如本题图所示，一长直导线中通有电流I=5A，在距导线9cm处，放一面积为0.1cm2、10匝的小线圈，线圈中的磁场可看作是均匀的。今在1.0102s内把此线圈移至距导线10cm处。求：(1)线圈中平均感应电动势；(2)设线圈的电阻1.0102，求通过线圈横截面的感应电量。4.有一长为a，宽为b的矩形导线框架，其质量为m、电阻为R。在t=0时，框架从距水平面y=0的上方h处由静止自由下落，如本题图所示。磁场的分布为：在y=0的水平面上方没有磁场；在y=0的水平面下方有磁感强度为B的均匀磁场，B的方向垂直纸面向里。已知框架在时刻t1和t2的位置如图中所示。求在下述时间内，框架的速度与时间的关系。(1)t1t0，即框架进入磁场前；(2)t2tt1，即框架进入磁场，但尚未完全进入磁场；(3)t2t，即框架完全进入磁场后。5.有一很长的长方U形导轨，与水平面成角，裸导线ab可在导轨上无摩擦地下滑，导轨位于磁感应强度B垂直向上的均匀磁场中，如图所示。设导线ab的质量为m，电阻为R，长度为，导轨的电阻略去不计，abcd形成电路，t=0时，v=0；试求：导线ab下滑的速度v与时间t的函数关系。§14-2动生电动势和感生电动势按照磁通量变化原因的不同，感应电动势可分成动生和感生两种来分别详细讨论。动生电动势：回路或者其一部分在(不变的)磁场中有相对运动时产生的感应电动势。感生电动势：回路在磁场中没有相对运动，仅由磁场的变化而产生的感应电动势。一.动生电动势1.运动导体内的感应电动势(可以用洛仑兹力来解释)××××b××××v××××af1ff2V随导体运动的自由电子，在磁场中受洛仑兹力，如图。电子受力向下运动，它相对于磁场的合速度V指向右下方。因此，该电子受洛仑兹力f的方向指向左下方，此力可以分解为一个向左的水平分力f1，一个向下的竖直分力f2。欲使ab以速度v匀速运动，需加一向右的水平外力。因此，外力克服洛仑兹力的一个水平分力f1所作的功，通过洛仑兹力的另一个竖直分力f2=Bvef，对电子的定向运动作了正功，从而全部转化成了感应电流的能量。在这里，非静电力就是洛仑兹力(实为一分力，以后简称洛仑兹力)，非静电场强BvefEk，根据电动势的定义有：bakdBvdE。注意：1.Bv的方向就是电动势的方向(低电势点高电势点)。2.据电动势的定义，上式为洛仑兹力(非静电力)移动单位正电荷所作的功。3.该式提供了另一种计算感应电动势的方法。当导线在不变的磁场中运动时，一般用此方法求感应电动势，但我们必须非常清楚：在任何情况下法拉第电磁感应定律都成立。4.解题步骤：⑴必须先建立坐标系(要有原点、有方向)，如r坐标系，在此坐标系内进行定积分运算。⑵写出