微积分PowerPoint 演示文稿 (3)

第三节函数极限的定义一、函数在有限点处的极限本节要点二、函数在无穷大处的极限一、函数在有限点处的极限在上节中,我们讨论了数列的极限.而我们又知道数列是一种特殊的函数——定义在正整数集上的函数.那么一般函数的极限又应该如何定义呢？这一节我们将全面引入函数极限的定义.引例设函数21()1xfxx从图形中可以看出:尽管函数在点处没有定义,但当趋近于1xx看到,对于轴上的任何一个以2为y中心,为半径的邻域,在轴上都x1而不等于1时,相应的曲线上的点2.y趋近于直线更进一步的可以121()1xfxx11xyO222可以找到一个相应的以1为中心、为半径的去心邻域,2,y2y将上面的问题一般化,就得到函在该邻域中的点所对应的直线上的点都落在围成的带形区域中.数在有限点处极限的定义.121()1xfxx11xyO222(),fxA0lim().xxfxA或0().fxAxx定义设函数在点的某个去心邻域中有定义,fx0x如果存在常数使得对于任意给定的正数总存在正,A,正数对于满足的一切都有,00xxx那么常数就称作函数当时的极限,记为Afx0xx函数在点处的极限的几何意义.fx0x()yfxo0x0x0xxyAAA曲线均在矩形区域中例设函数211,()101,xxfxxxx12yO21()1xfxx11注:函数在点处的极限与函数在这一点是否有fx0x定义、或为多少毫无关系,它所反映的是在0fxfx则1lim2,xfx该点附近的变化趋势.但事实上,极限与的取值毫无关系.10.f1fx12yO21()1xfxx11(),fxA经过不等式的变形,得到关系0(),fxAMxx0(),fxAMxx注函数在点的极限的定义说明了如何去证明fx0x其中是一个与无关的常量.再取,则当MMx00xxfx0xA0,函数在点的极限为的方法:对于考虑时,有:此即说明0lim().xxfxA例1证明下列极限⑴2lim(21)5;xx证⑴因()2152422fxAxxx所以0,,02,2x取当有()21522,fxAxx故2lim(21)5.xx0limsin0.xx⑵⑵因()sin0sin,fxAxx欲使即sin,xsin,x所以不妨取此时令则0,01,arcsin,()sin0,fxAx因而0limsin0.xx0x当时有例2证明12214lim2.21xxx证因2214(21)1()22,21212xxfxAxxx所以对任意的,20,取当时有10()2x2141()22,212xfxAxx所以12214lim2.21xxx例3证明22lim4.xx证因2()422,fxAxxx所以任取0,2()42252,fxAxxxx即22lim4.xx为能解出不等式，要对进行适当的控制,为2Mxxx13x25,x此限定的变化范围是,此时有取min{1,},5当02,x有例4证明2123lim.12xxx证因22123()1,122(1)xxfxAxxx211,22xx取即所以11,02,x223()1,12xfxAxx即2123lim.12xxx所以任取0,取min{1,},当02,x有证因000001(),xxfxAxxxxxxx00lim.xxxx例5设证明00,x0001(),fxAxxxxx所以任取0,取00min{,},xx当00,xx有所以00lim.xxxx左、右极限10,()00,10.xxfxxxx前面讨论的是函数在某一点的极限,它反映的fx0xx0x是当在该点两侧趋近于时,函数有一个确定的变化趋势,但某种情况下,函数在两侧的趋势是不同的,这就需要分别加以讨论.考虑函数:1yx1yxxyO11该函数在点两侧的变化趋势是不同的:当在0的0xx1yx1yxxyO111fxx00右侧趋近于0时,；而当在的左侧趋近于1,fx时,这就引出了左右极限的概念.00,xx(),fxA对应的函数值总能满足fx那么常数就称作函数在处的左（右）极限.Afx0x定义设函数在的某个左(右)邻域内有定义,如fx0x只要满足,x果存在常数使得对于任意给定的正数总存在正数,A,0(0),xx左极限记为00lim()(0),xxfxfx或右极限记为00lim()(0).xxfxfx或容易验证:定理极限存在的充分必要条件是在点0lim()xxfxfx0x处的左右极限存在并且相等.例6符号函数10,sgn00,10.xyxxx则00lim()lim11,xxfx00lim()lim(1)1,xxfx所以不存在.0lim()xfxsgn:yxsgnyx11xyO例7说明极限1/01lim1exx解因1/01lim0,1exx1/01lim1,1exx所以极限1/01lim1exx不存在.不存在.二、函数在无穷大处的极限(),fxAlim().xfxA那么常数就叫做函数当时的极限,记为Afxx使得对于任意给定的正数,总存在正数,只要,AXx满足对应的函数值都满足,xXfx定义设函数当时有定义,如果存在常数fxxM函数在无穷大处的极限的几何意义从图中可以看出,对于任意给定的正数存在正数,yfxxyAAAOXX,X,xX,yA当对应的函数图形均落在yA围成的带形区域中.单侧极限lim(),xfxAlim().xfxA和定理lim()lim()lim().xxxfxAfxAfxA将上述定义中的取值范围限定在一侧,就得到单侧x极限的定义,分别记为例8证明22lim110.xxx证因222222()1111,fxAxxxxx22()11,fxAxx0,所以取当时有2max,1,XxX所以22lim110.xxx例92211lim.212xxxxx222221122221()212221xxxxxxfxAxxxx证任取0,2211,2(21)221xxxxxx当时,则有不等式1x因22121(),2(1)221xxfxAxxxx22121(),2(1)221xxfxAxxxx2211lim.212xxxxx即令则当时,有1max1,,XxX例10求limarctan.xx解因所以不存在.limarctanxx1limarctanπ,2xx1limarctanπ,2xx