微积分PPT数列的极限

二、收敛数列的性质一、数列极限的定义第一章函数与极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：播放——刘徽一、概念的引入R正六边形的面积1A正十二边形的面积2A正边形的面积126nnA,,,,,321nAAAAS2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211X第一天截下的杖长为;212122X为第二天截下的杖长总和;2121212nnXn天截下的杖长总和为第nnX2111二、数列的定义定义:按自然数,3,2,1编号依次排列的一列数,,,,21nxxx(1)称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的项,nx称为通项(一般项).数列(1)记为}{nx.例如,21,,81,41,21)2(n}21{n,12,,46,34,1)1(nn}12{nn注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取.,,,,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是整数下标函数).(nfxn,)1(,,1,1,1)4(1n})1{(1n,)1(,,34,21,2)3(1nnn})1({1nnn,2,,8,4,2)5(n}2{n三、数列的极限,21,,81,41,21)2(n,12,,46,34,1)1(nn,)1(,,34,21,2)3(1nnn0121x2x3x21x2x3x4xnx001x2x3x4xnx10数列(1)(2)(3)有一个共性？1当n无限增大时,与常数a无限接近,尽管接近的方式不同。数列极限的描述性定义：axnnlim或)(naxn我们研究数列就是研究它在自变量的动态变化过程中，能否渐趋稳定，或是说，能否无限的接近某一定数？如果能，就叫的极限。naa给定数列，当无限增大时，无限的接近，则称为趋于无穷时数列的极限。记做：nnaanxnx越来越小无限接近，接近的程度轴上看，它和，从数），其通项对于数列（1)1(31nnxnn.1)1(1,1无限接近于无限增大时即，当nxnnn问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.给出数列极限的精确的定义呢？能否给出数列（3）收敛的描述性的定义？记作1)1(lim1nnnn或)(n此时称该数列（3）的极限为1,1)1(1nnn,1001给定,10011n由,100时只要n,10011nx有,10001给定,1000时只要n,1000011nx有,100001给定,10000时只要n,100011nx有,0给定,])1[(时只要Nn.1成立有nx1nxnnn11)1(1讨论数列（3）定义如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数N,使得对于Nn时的一切nx,不等式axn都成立,那末就称常数a是数列nx的极限,或者称数列nx收敛于a,记为,limaxnn或).(naxn如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：;.1的无限接近与刻划了不等式axaxnn..2有关与任意给定的正数Nx1x2x2Nx1Nx3x几何解释:2aaa.)(),(,落在其外个至多只有内，只有有限个都落在所有的点时从数轴上看，当NaaxNnn:定义N其中，每一个或任给的:至少有一个或存在:.,,0,0limaxNnNaxnnn恒有时使在平面上.)(),(,,落在其外个至多只有内，只有有限个带形区域都落在所有的点时当NaaxNnnO1231NaaaNn).(nfxnaa数列极限的定义未给出求极限的方法.例1.1)1(lim1nnnn证明证1nx1)1(1nnnn1,0任给,1nx要,1n只要,1n即所以,],1[N取,时则当Nn1)1(1nnn就有.1)1(lim1nnnn即注意：例2.lim),(CxCCxnnn证明为常数设证CxnCC,成立,0任给所以,0,n对于一切自然数.limCxnn说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.,0例3.1,0limqqnn其中证明证,0任给,0nnqx,lnlnqn],lnln[qN取,时则当Nn,0nq就有.0limnnq,0q若;00limlimnnnq则,10q若,lnlnqn例4.lim,0lim,0axaxxnnnnn求证且设证,01a对于给定的.limaxnn故,limaxnn,1axNnNn时恒有使得当axn从而有aaxna1,0任给axaxnn四、数列极限的性质1.有界性定义:对数列nx,若存在正数M,使得一切自然数n,恒有Mxn成立,则称数列nx有界,否则,称为无界.例如,;1nnxn数列.2nnx数列数轴上对应于有界数列的点nx都落在闭区间],[MM上.有界无界定理1收敛的数列必定有界.证,limaxnn设由定义,,1取,1,axNnNn时恒有使得当则.11axan即有},1,1,,,max{1aaxxMN记,,Mxnn皆有则对一切自然数.有界故nx注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.2.唯一性定理2每个收敛的数列只有一个极限.证,lim,limbxaxnnnn又设由定义,使得.,,021NN;21axNnn时恒有当;22bxNnn时恒有当,,max21NNN取时有则当Nn)()(axbxbannaxbxnn.22.时才能成立上式仅当ba故收敛数列极限唯一.例5.)1(1是发散的证明数列nnx证,limaxnn设由定义,,21对于,21,,成立有时使得当则axNnNn),21,21(,aaxNnn时即当区间长度为1.,1,1两个数无休止地反复取而nx不可能同时位于长度为1的区间内..,}{,但却发散是有界的事实上nx反证法证:对,取推论:若数列从某项起)0(.)0((用反证法证明)定理3:收敛数列的保号性.若,limaxnn且,0N则Nn当时,有0nx,)0(.)0(0aaa3.保号性定理4:如果数列收敛于a,则其任一子列也一定收敛于a.}{knx数列的任一子数列******************************nKnnxKnx4.子列的极限*********************,axkn证:设数列是数列的任一子数列.若则,0,N当Nn时,有axn现取正整数K,使,NnK于是当Kk时,有knKnN从而有由此证明.limaxknk*********************NKnNxKnx11111111212kkxx，，，，，，即：.不收敛从而可知数列})1{(n例6})1{(n证明数列不收敛证:数列})1{(n定理说明：如果一数列有两个子列收敛于不同的数,则此数列一定发散.如数列})1{(n,0lim,,.7nnnnyyx有极限数列有界设数列例.0lim:nnnyx证明对于所有则存在正数有界由条件证,,:MxnNnNyMxnnnn当有由的,,0,0lim;,.,Myn时时，当从而，NnN,,0nnnnyxyx,MM.0limnnnyx证得231213lim:8.nnn证明例12236262312n13n:nnn证nn11211221n,231213,0nn欲使,0,从而231213nn,1N,时当Nn.结论得证.1,1nn即只需要小结重点:数列极限的定义，收敛数列的性质难点:数列极限定义的理解，证明数列的极限.主要内容：数列及数列极限的定义,几何意义,收敛数列的性质:有界性、唯一性、保号性、子数列极限思考题1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于∞的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.方法3..,,0,0axNnNn总有时当