微积分基础知识

§4.1不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念二、不定积分的几何意义三、不定积分的性质四、基本积分公式五、不定积分的求法前面我们讨论了一元函数的微分学，它的基本问题是求已知函数的导数或微分。而在实际问题中，还会遇到与此相反问题，即已知一个函数的导数或微分，求此函数。例如：已知作非匀速直线运动的物体在任意时刻的速度，要求物体的运动方程：。这类问题在数学中归结为求导运算的逆运算，我们称之为求函数的不定积分。)(tvv)(tsst一、原函数与不定积分的概念1.原函数：设是定义在某区间上的已知函数，如果存在一个函数，使对于该区间任意，都有关系式：或成立，则称函数为函数在该区间上的一个原函数。)(xFx)()(xfxFdxxfxdF)()()(xF例),,(,cossinxxx。上的一个在是原函数),(cossinIxx455)(xx又因为：455)1(xx455)3(xx455)(xcx所以显然，，，都是的一个原函数。5x15x35xcx545x★由此不难得出：（1）一个函数的原函数不惟一，且有无穷多个。（2）同一函数的原函数之间只相差一个常数。（3）若为的一个原函数，则表示的所有原函数。CxF)()(xF2.不定积分的定义：设是在区间I上的一个原函数，则函数的全体原函数（c为任意常数）)(xFCxF)(任意常数积分符号被积函数CxFdxxf)()(被积表达式积分变量记为dxxf)(.3.如何求不定积分称为在该区间I上的不定积分。即：例1解：Ccosdsinxxx例2解：求dxx211dsinxx求xxsin)cos(因为xcosxsin所以是的一个原函数，从而有因为211)(arctanxx所以xarctan是211x的一个原函数，从而有cxdxxarctan112从而有的一个原函数是所以,||lnxx1例3dxx1求),(||ln01xxx因为cxdxx||ln1结论（3）不是每个函数在定义区间上都有原函数；在定义区间上的连续函数一定有原函数（即：一定有不定积分）。（1）求函数的不定积分就是求的全体原函数，实际上只需求出它的一个原函数，再加上一个常数C即可。)(xf)(xf（2）检验积分结果正确与否的方法是：积分结果的导函数等于被积函数。)(xf)(xF)(xFy)(xf设函数在某区间上的一个原函数为，则在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。而的全部积分曲线)(xf)(xF.)(cxFy所组成的积分曲线族。其方程为cxFy)(yo的图象显然可由这条曲线沿或向下平行移动就可以得到，这样就得到一族曲线，因此，不定积分的几何意义是轴向上)(xFy设函数在某区间上的一个原函数为，则在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。而)(xf)(xF.)(cxFy所组成的积分曲线族。其方程为cxFy)(yo的图象显然可由这条曲线沿或向下平行移动就可以得到，这样就得到一族曲线，因此，不定积分的几何意义是轴向上)(xFy设函数在某区间上的一个原函数为，则在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。而)(xf)(xF二、不定积分的几何意义如下图所示：xyx0cxFy)()(xf斜率)(xFy例4设曲线通过点（1,2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线方程为),(xfy根据题意知,2)(xxf即)(xf是x2的一个原函数.,2Cx,C)(2xxf由曲线通过点（1，2）,1C所求曲线方程为.12xyxxd2三、不定积分的性质（k是常数，)0k定理1微分运算与积分运算互为逆运算，即dxxfdxxfdxfdxxf)(])([)(])([)(或1cxFxdFcxFdxxF)()()()()(或2dxxfkdxxkf)()(定理2定理3dxxgdxxfdxxgxf)()()]()([niiniidxxfdxxf11)()(推论积分运算和微分运算是互逆的，因此，对每一个导数公式都可以得出一个相应的积分公式。四、基本积分公式将基本导数公式从右往左读，（然后稍加整理）可以得出基本积分公式（基本积分表）。基本积分表kCkxkdx()1(是常数);dxx)(2dxx211)4(Cxarctandxx211)5(Cxarcsinxdxcos)6(;sinCx;cotarcCx;arccosCxxdxsin)7(;cosCxxdx)3(;||lnCx);(111Cxxdxxtansec)10(;secCxxdxxcotcsc)11(;cscCxdxex)12(;Cexdxax)13(;lnCaaxxdxsh)14(;chCxxdxch)15(.shCxxdx2sec)8(;tanCxxdx2csc)9(;cotCx基本积分表1.直接积分法（直接利用基本积分公式与性质求积分）解dxxx2dxx25Cx125125.7227Cx根据幂函数的积分公式Cxdxx11例5求下列函数的不定积分（恒等变形法）五、不定积分的求法：.2dxxx(1)dxxx)1sin43()2(2解:dxxx)1sin43(2Cxxxcos43dxxxxx)35(cos)3(3cxxxx131||ln35ln5sin131cxxxx3443||ln35ln5sin解:原式例6求下列函数的不定积分dxxxxx)1(1)(221dxxxxx)1()1(22解：原式dxxx1112dxxdxx1112.lnarctanCxxdxxxx)1(21)2(222dxxxxx)1(12222）（dxxdxx22111.arctan1Cxx解：原式dxxx241)3(解：原式dxxx24111）（dxxx）（22111.arctan33Cxxxdxxx2sincos1)4(22解：原式dxxx)(cos1cos122dxx)cos1(2C.xx)sin(2xdx2cot(5)解：原式dxx)1(csc2dxxdx2csc.cotCxxdxexx2(6)解：原式dxex)2(ceex)2ln()2(cexx2ln12dxexxx1235)7(解：原式dxexx))2)(23()25(21(dxedxxx)2()23()25(21.)2()2ln1(23)25()2ln5(ln21Cexx例7已知一曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的切线斜率为sec2x+sinx，且此曲线与y轴的交点为(0,5)，求此曲线的方程.解,sinsec)(2xxxfdxxxsinsec2由,costanCxx,5)0(f及,6C得所求曲线方程为.6costanxxy的一个原函数。是xxxfsinsec)(23.基本积分表；5.不定积分的（线性）性质；1.原函数的概念：；)()(xfxF2.不定积分的概念：；CxFdxxf)()(4.求微分与求积分的互逆关系；六、小结6.求不定积分的基本方法：将所求积分转化为基本积分表中的积分。