第四章 傅里叶变换和系统的频域分析

信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-1页电子教案第四章傅里叶变换和系统的频域分析信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-2页电子教案本章主要内容：第四章傅里叶变换和系统的频域分析信号分解为正交函数傅里叶级数周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换的性质能量谱和功率谱周期信号的傅里叶变换LTI系统的频域分析信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-3页电子教案4.1信号分解为正交函数一、矢量正交与矢量分解矢量Vx=(vx1,vx2,vx3)与Vy=(vy1,vy2,vy3)正交的定义：其内积为0，即031iyixiTyxvvVV第四章傅里叶变换和系统的频域分析矢量正交矢量分解将相互正交的单位矢量组成一个“正交矢量集”，则任意矢量都可用该集合的分量组合表示。信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-4页电子教案4.1信号分解为正交函数举例如二维平面矢量A，可表示为：yxCCvvA21yxvv,为二维“正交矢量集”如三维空间矢量B，可表示为：zyxCCCvvvB321zyxvvv,,为三维“正交矢量集”xyxvC1yvC2AxyxvC1yvC2zvC3zB信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-5页电子教案二、信号正交与正交函数集4.1信号分解为正交函数信号正交定义在(t1，t2)区间的两个函数1(t)和2(t),若满足210d)()(21ttttt(两函数的内积为0)则称1(t)和2(t)在区间(t1，t2)内正交。正交函数集若n个函数1(t)，2(t)，…，n(t)构成一个函数集，当这些函数在区间(t1，t2)内满足21,0,0d)()(ttjiKjitttiji则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。(Ki为常数)信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-6页电子教案4.1信号分解为正交函数完备正交函数集如果在正交函数集{1(t)，2(t)，…，n(t)}之外，不存在函数φ(t)(≠0）满足则称此函数集为完备正交函数集。210d)()(ttittt(i=1，2，…，n)举例(完备正交函数集)1.三角函数集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}2.沃尔什（Walsh）函数3.复函数集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}(t0，t0+T)(T=2π/Ω)(0，1)(t0，t0+T)(T=2π/Ω)信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-7页电子教案三角函数集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}Tttdttn00)cos(1举例（续）Tttdttntm00)cos()cos(Tttdttn00)sin(1Tttdttntm00)cos()sin(Tttdttntm00)sin()sin(4.1信号分解为正交函数(t0，t0+T)(T=2π/Ω)=0=00,0,2/,0nmTnmTnm0,2/,0nmTnm=0信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-8页电子教案三、信号的正交分解4.1信号分解为正交函数设有n个函数1(t)，2(t)，…，n(t)在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似，可表示为njjjnntCCCCtf12211)()(讨论：如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小?——通常使误差的均方值(均方误差)最小。信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-9页电子教案4.1信号分解为正交函数最小均方误差均方误差定义为：ttCtfttttnjjjd])()([12121122为使上式最小，有：0d)]()([21122ttnjjjiittCtfCC展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0，写为210d)]()()(2[22ttiiiiittCttfCC误差ε信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-10页电子教案4.1信号分解为正交函数即：21210d)(2d)()(22ttiittittCtttf所以系数212121d)()(1d)(d)()(2ttiittittiitttfKtttttfC21d)(2ttttKii代入均方误差表达式，得最小均方误差（推导过程见教材）0]d)([112212221njjjttKCttftt信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-11页电子教案巴塞瓦尔公式4.1信号分解为正交函数12221d)(jjjttKCttf信号的能量各正交分量的能量和第j个正交分量的能量Parseval公式表明：在区间(t1,t2)上，f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。1)()(jjjtCtf函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和当，有最小均方误差为零，，则02n信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-12页电子教案4.2傅里叶级数在（-∞，∞）区间，每隔一定时间T，按相同规律重复变化的信号称为周期信号，表示为：f(t)=f(t+mT)周期频率tf(t)0T2T-T1/T一、傅里叶级数的三角形式第四章傅里叶变换和系统的频域分析信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-13页电子教案4.2傅里叶级数设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数——称为f(t)的傅里叶级数三角形式110)sin()cos(2)(nnnntnbtnaatf傅里叶系数22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTb是n的偶函数由Ci表达式确定是n的奇函数。信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-14页电子教案4.2傅里叶级数10)cos(2)(nnntnAAtf将上式同频率项合并，可写为nnnnnnabnbaAaAarctan,2,1,2200,sin,2,1,cos00nnnnnnAbnAaAa上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。A0/2为直流分量；A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信号相同；Ancos(nt+n)称为n次谐波，其频率是基波的n倍。n的偶函数n的奇函数信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-15页电子教案4.2傅里叶级数例题将图中所示方波信号f(t)展开为傅里叶级数。f(t)0T2T2T2Tt解：首先确定傅里叶系数22)cos()(2TTndttntfTa02)cos()1(2TdttnT20)cos()1(2TdttnT2/002/)][sin(12)]sin([12TTtnnTtnnT0T/2信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-16页电子教案4.2傅里叶级数22)sin()(2TTndttntfTb02)sin()1(2TdttnT20)sin()1(2TdttnT2/002/)]cos([12)cos(12TTtnnTtnnT)cos(12nn,5,3,1,4,6,4,2,0nnn则方波信号的傅里叶级数展开式为：)sin(1)5sin(51)3sin(31)sin(4)(tnnttttf,5,3,1n信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-17页电子教案4.2傅里叶级数方波信号的傅里叶级数展开式：)sin(1)5sin(51)3sin(31)sin(4)(tnnttttf,5,3,1n特点频率较低的谐波，振幅较大，是组成方波的主体；合成波形所包含的谐波分量越多，越接近于原方波信号；即使n→∞，间断点处仍有误差，称为吉布斯（Gibbs）现象。信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-18页电子教案00.511.522.533.54-1.5-1-0.500.511.5基波+三次谐波00.511.522.533.54-1.5-1-0.500.511.5基波+三、五、七、九次谐波4.2傅里叶级数信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-19页电子教案复习信号的正交分解巴塞瓦尔公式的含义傅里叶级数三角形式第四章傅里叶变换和系统的频域分析信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-20页电子教案4.2傅里叶级数二、奇偶函数的傅里叶级数1.f(t)为偶函数——对称纵坐标轴，f(-t)=f(t)2.f(t)为奇函数——对称原点，f(-t)=-f(t)3.f(t)为奇谐函数——f(t)=–f(t±T/2)函数f(t)的前半周期波形移动T/2后，与后半周期波形相对于横轴对称，称为奇谐函数。该部分内容自学信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-21页电子教案4.2傅里叶级数三、傅里叶级数的指数形式三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。可从三角形式推出：利用cosx=(ejx+e–jx)/21)()(0]e[e22ntnjtnjnnnAA110ee21ee212ntjnjnntjnjnnnAAA10)cos(2)(nnntnAAtf令n=-nA–n=An，–n=–n信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-22页电子教案4.2傅里叶级数110ee21ee212)(ntjnjnntjnjnnnAAAtfA0=A0ej0ej0t0=0ntjnjnnAtfee21)(所以令复数njnjnFFAnnee21称复傅里叶系数则，傅里叶级数的指数形式：ntjnnFtfe)(表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。n=0,±1,±2,∙∙∙信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-23页电子教案4.2傅里叶级数复傅里叶系数FnnjnneAF212222d)sin()(1d)cos()(1TTTTttntfTjttntfT)sincos(21nnnnjAA)(21nnjba22de)(1TTtjnttfT复系数Fn的求解公式22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTbn=0,±1,±2,∙∙∙bnan信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-24页电子教案4.2傅里叶级数例题周期锯齿波信号如图所示，求该信号的指数形式傅里叶级数。解：f(t)在一个周期内的表达式为：22,2)(TtTtTtf其指数形式傅里叶系数为：22)(1TTtjnndtetfTFf(t)0T2T2Tt1-1信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-25页电子教案4.2傅里叶级数2221TTtjnndtteTTF22212TTtjntdejnT2222212TTtjnTTtjndtejnejntT)cos(1nnj2T所以ntjnntjnnennjeFtf)cos(1)(信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第1-26页电子教案4.3周期信号的频谱及特点一、周期信号的频谱信号的幅度/相位随信号频率变化的关系，称为信号的幅度/相位频谱。An05A0/210Ω谱线