高数高等数学1.8函数的连续性与间断点

第八节函数的连续性与间断点一、函数的连续性二、函数的间断点一、函数的连续性1.函数的增量11,uuu设变量从初值,变到终值称21uuu---变量u的增量0()(),fxUx设函数在内有定义0(),xUx0xxx---自变量的增量0()()yfxfx---函数的增量xy00xxx0)(xfyxyxy00xxx0xy)(xfy2.函数连续的定义定义0()yfxx设函数在的某邻域内有定义，如果0000limlim()()0xxyfxxfx0(.)yfxx称在点那就连续么0,xxx记),()(0xfxfy00,xxx0()()0.fxfxy连续的等价定义0()yfxx设函数在的某邻域内有定义，如果00lim()()xxfxfx0(.)yfxx称在点那就连续么00lim()()xxfxfx说明：0()fxx在连续要满足三条件：00(1)()()fxxfx在有定义，即存在；0(2)lim()xxfx极限存在；00(3)lim()()xxfxfx极限值等于函数值，即.左连续：000()lim()()xxfxfxfx；右连续：000()lim()().xxfxfxfx00lim()()xxfxfx000lim()()xfxxfx0lim0xy000()()()fxfxfx左连续右连续0,0,0xxx当时，有0()().fxfxy等价命题:xyo0xx)(xfyxy3.连续区间与连续函数区间上连续：指函数在区间[a,b]上的每一内点都连续，且在a右连续，在b左连续.连续函数：连续区间()yfx在整个区间都连续.说明：连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.[,].Cab记为：xy)(xfyabo例如：多项式函数又如：有理分式函数在其定义域内连续.0()0,Qx只要00lim()()xxRxRx都有00lim()()xxPxPx.0,0,0,0,1sin)(处连续在试证函数xxxxxxf例2证明,01sinlim0xxx,0)0(f又.0)(处连续在所以函数xxf),0()(lim0fxfx.),(sin内连续在区间函数证明xy例3证明),,(x任取xxxysin)sin(sin(,).yx即函数在内连续sinsin2sincos222sincos()22xxyxx0x0同理可证cos(,).yx在内连续0,sinxxx.0,0,2,0,2)(连续性处的在讨论函数xxxxxxf)2(lim)(lim00xxfxx2),0(f)2(lim)(lim00xxfxx2),0(f右连续但不左连续,.0)(处不连续在点故函数xxf例3解三角函数和差化积公式sinsin2sincos22sinsin2cossin22coscos2coscos22coscos2sinsin22二、函数的间断点1.间断点的定义定义0()yfxx设函数在的某去心的邻域内有定义，0()yfxx下列情形之一，在不连续：0(1)()fxx在无定义；00(2)()lim()xxfxxfx在有定义，但不存在；00(3)()lim()xxfxxfx在有定义，且存在，但是00lim()()xxfxfx0()xfx这样的称为间断点.2.间断点的分类第一类间断点:第二类间断点:若其中有一个为振荡,,若其中一个为0x称为可去间断点.跳跃间断点.0x称为无穷间断点.0x称为振荡间断点.0x称为解例11xyo1.x为可去间断点1x无定义，是间断点.1lim1xx（）求下列函数的间断点解说明：可去间断点只要改变或者补充间断处函数的的定义,则可使其变为连续点.12,xy补时，充：定义1.x该函数在处连续2π.2x为无穷间断点xyotanyx22x无定义，是间断点.解xyo0.x为振荡间断点0,x在处没有定义01limsinxx不存在，解011x时，函数值在与之间变动无限次，解1lim()xfxxyo1121.x为可去间断点00lim()lim(1)1,xxfxx00lim()lim(1)1,xxfxx0.x为跳跃间断点解xyo111lim1(1)xxf可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyx0xoyx0xoyx0x例2解221(1)(1)23(1)(3)xxxxxxx，13.xx，时无定义是间断点321lim221xxxx111lim32xxx，1.x是可去间断点2231lim23xxxx，3.x是无穷间断点例3解221sin,0()0.,0xxafxxxaxx当为何值时，在连续(0),fa又2001lim()limsinxxfxxx,1200lim()lim()xxfxax,a00lim()lim()(0)xxfxfxf1a当时，1()0.afxx故当时，在处连续评注：(1)函数无定义的点一定是间断点、分段函数的分界点可能是间断点；(2)判别间断点的类型主要方法是讨论极限、左、右极限.小结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在作业：P65习题1-82.(2)3.(1)(2)(4)