5第二章秩亏自由网平差的解法

主要内容问题的引入秩亏自由网平差的原理广义逆的补充知识秩亏自由网平差的解法秩亏自由网平差的解法分类③附加条件法----Mittermayer（1972）④伪观测法----Pelzer（1974）⑦坐标转换法----e.g.XuPL（1999？2000？）原理类似√√√②伪逆解法----Mittermayer（1971）√①求的最小范数逆----Mittermayer（1971）N√解法一：求的最小范数逆解秩亏自由网平差的误差方程为：函数模型：平差原则：minˆˆminXXPVVTT根据最小二乘得法方程：00,()()TTNXAPlNAPARNRAtt秩亏数0ttdttARlAXV0)(,N的凯莱逆（）不存在，法方程解不唯一，为了确定唯一的解，加入最小范数条件：1NminˆˆXXT0ˆPlAXNTminˆˆXXT在满足的约束条件下，求目标函数的条件极值问题。组成新的函数：)ˆ(2ˆˆPlAXNKXXTTTN对Xˆ求偏导数并令其等于零，得：PlAKNNTT)(NNNNmPlANXTmrˆ以上是最小二乘最小范数解为最小范数逆02ˆ2ˆNKXXTT)2(ˆ)1(ˆPlAXNKNXTTPlANNNPlANNNXPlANNKTTTTrTT)()(ˆ)(根据最小范数的定义知，该逆应满足：NNNNNNNNmTmm)([证明]：NNNNNNNNNm)()1(由广义逆的性质三有TTTTTTAAAAAAAAAAAA)()(或NNNNNNNNNNNNmTTm)())(()()2(0)()()()(())()()((AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADDTTTTTTTTTTTTTTTTTTT得证。但最小范数逆不唯一。需要解决三个问题：（1）证明该解的范数最小（2）证明该最小范数解的唯一性（3）该最小范数解的求法mNmN虽然不唯一，但由求出的最小范数解是唯一的，令PlANXPlANXTmrTmr2121ˆ,ˆ只要证：XXXrrˆˆˆ21所以TmTmTmTmmNNNNNNNNNNNNNNN)()(,0)(2121TmmTmTTmNNNNNNNNNNN得两边右乘TmmNN)(210])[()()()(21212121TmmmmTmmTmmNNNNNNNNNNNN0)(21NNNmm0)(21NNNmm两边右乘XˆPlANPlANPlANNXNNNTmTmTmmmm2121210)(0ˆ)(0ˆPlAXNTXXXrrˆˆˆ21得证。之一也是mNNPlANXTrˆ1．单位权方差精度估计tnPVVfPVVˆTT20)A(Rt2．的协因数XˆNNNNNNNNNPQPAANQTmTmrXXr)()()(ˆˆ3．未知参数函数的精度0T0fXˆf)XˆX(FTu21xˆFxˆFxˆFffNffQfQTXˆXˆTFF4．平均精度指标（评价自由网未知参数的总体精度）！在经典平差中，参数估计量的精度与起算数据的精度有关，它包含了起始数据和观测数据误差的综合影响；自由网平差中，它没有起算数据，不受起算数据误差的影响，因此是一种内精度。uQtrMXX)(ˆˆ202为未知数的个数u说明：1）经典平差，配置了必要的起算数据，给定了外部基准，平差结果必须强制符合在由起算数据决定的基准之中；2）经典平差，参数估计量的精度与起算数据的精度有关，它包含了起始数据和观测数据误差的综合影响；3）经典平差，起算数据的精度在参数估计中也可以考虑，即弱约束；若不予考虑，则为强约束；但无论如何，起算数据的误差都会对结果有影响；4）自由网平差，它没有起算数据，不受起算数据误差的影响，只受观测值误差的影响，因此是一种内精度；5）自由网平差，没有起算数据，但有基准，附加的约束条件中隐含着基准，约束条件不同，基准不同，包括重心基准，拟稳基准和加权重心基准等；6）经典平差与自由网平差的参数以及参数的精度无法直接比较。前者因为基准不同，后者因为起算数据的误差考虑不同；7）经典平差与自由网平差结果和精度可以相互转换，即自由网平差的坐标转换解法7）注意：基准、起算数据、近似值的区别与联系！i）起算数据、近似值决定了经典平差与自由网平差的基准；ii）起算数据有误差，但近似值没有误差例1：mh345.121m.h47832m.h817153如图所示的水准网，现测得：各线路距离S相等，试求平差后各点高程及协因数。x2x1x3h1h2h3x2x1x3h1h2h3,m.Hx,mHx34512002020101m.Hx817150303IPlXˆAV060101110011321321xˆxˆxˆvvv解：取各点近似高程为：1.列误差方程式1,2)(dAR常数项单位为mm。PlAXˆNT2.在最小二乘准则下，构成法方程211121112AANT660PlAT2)(NR其中633363336NN00002101291)(NN01101000131)(1NNNNmTTmr220PlANXˆ113.解法方程为了验证不同的最小范数逆具有相同的最小范数解这一结论，这里分别采用两种不同的最小范数G逆进行求解。（1）降秩法实习内容一：广义逆的求法BCN111001B121112C2)C(R)B(R12111231B)BB(BT1T1L11100131)CC(CC1T1R21112111291112LRmBCNNTTmr220PlANXˆ22（2）满秩分解法。令，则可解得显然于是01101000131)(1NNNNm可见，尽管最小范数逆不同，但最小范数解却是相同的。322333CBN211121112AANT4.高程平差值mxˆHHˆ01011m.xˆHHˆ343122022m.xˆHHˆ819153033mmxˆxˆv2121mmxˆxˆv26232mmxˆxˆv231321112111291ˆˆNQrrXX5.改正数6．精度评定作业与思考：（1）设H1=100m，试求待定点高程平差值及其精度。（2）若采用条件平差，求观测值改正数。（3）若假定呢？（4）采用奇异值分解法求解该题，并比较有什么特点？,345.22,1002020101mHxmHxmHx817.250303由误差方程：lAXV有降秩阵A的矛盾方程组：ttAR0)(由最小二乘原理：min2VVVT即：lXAlXA~ˆ（1）设：X的最小二乘解为：GlXˆ则：G为A的最小二乘逆，应满足式（1）解法二：伪逆解法（1971Mittermayer）0ttd可证最小二乘逆G，必须是：AGAGAAGAT)(由于最小二乘解不唯一（当方程秩亏时），MGAIGlX)(ˆ为求误差方程唯一最优解，最小范数条件使得G又是最小范数逆，相应是最小范数解，由此必须：GlXMGAIGlGlXXXTˆ)(可证此式成立，G必须满足：GAGAGGAGT)(综上所述，当G既是最小二乘逆又是最小范数逆时，观测方程的解GlXˆ是唯一最优解。称：矛盾方程（误差方程）的最小二乘最小范数解其中（由上可知）G必须满足四个方程，最小范数最小二乘GAGAGGAGAGAGGAGATT)(,,)(,可见G就是A的伪逆A——最小二乘最小范数逆，只要求出A的A则lAXˆ最小二乘最小范数解。lAAAAAAAlAGlXTTTT)()(ˆ（一）、最小范数逆法：误差方程法方程最小范数解。（二）、最小二乘最小范数：求伪逆法。误差方程结果应相同，遵守的原理相同。可证：最小范数解（解法一）和伪逆解法（解法二）是等价的。最小二乘最小范数逆mTTTNAAAAAAA)()([证]：只要证：mTTTTTmTTTTmNNANAAAAAANNNNAAAAAANANNN))()(()()()(注意：（三）、最小二乘最小范数解没有考虑观测值的权，否则应该采用加权LS，最小范数解：（四）、最小范数逆法则考虑了观测值的权，PlANNNPlANNNXTTTTr)()(ˆ即可证明：22066003/13/103/10003/1ˆ03/13/103/10003/1)()(2200603/13/1003/13/13/103/1ˆ3/13/1003/13/13/103/1)()(,ˆ,)()()())(())()(()()()()(lANXAAAAAANlAXAAAAAAAAlANXNAAAAAANNNAAAAAAAAAAAAAAAANNNAAAAAAAAAAAAAAAAAANNNTmTTTmTTTTTmTTTmmTTTTTTTTTTTmTTTTTTTTTm前例：（由伪逆式有）最小范数逆解法三、四：附加条件法和伪观测法秩亏G-M模型：（1）12020)(ˆPQlDXAlttAR0)(0ttdP为非奇异对称矩阵增加虚拟观测：XBltdˆ,IPdBR)(（2）dBR)(IBBTB0TABAB①即当时满足该条件。相当于中的行向量线性无关要求中的行向量与中的行向量也是线性无关。②XBAllˆIPPtBARCXˆNBBNBBPAABAIOOPBANTTTTTlBPlAllI00PBACTTTT应用LS准则，得法方程解法方程：CQCNX1ˆ？Bl如何确定和（1）先确定BONBOPABATTT设法方程系数阵N的特征值为，相应特征向量为，则特征向量方程为：i因N具有秩亏d=t-r，故N的特征值中必有d个为零，对应零特征值必存在d个线性无关的特征向量，由此构成矩阵iS)d,1i(0NSS)IN(iii)SSS(Sd21dud)S(RSBT0AS（2）再确定lminˆˆrTXXrlBQQBlPlAQQBllBQQPAlPlAQQPAl)lBPlA(QQ)lBPlA(XˆXˆTTTTTTTTTTTTTTrTr022)ˆˆ(TTTTTrrBQQBlBQQPAlldXXdIBBPAAQNQTT)(BBQIPAAQTTTB0TAB右乘，顾及0TTTBBBQB1)(TTTBBBBQ1)(TTTBBBBQ左乘QA0)()()(111TTTTTTBBBBABBBBQABQQA022)ˆˆ(TTTTTrrBQQBlBQQPAlldXXd0TBQQB0