1.6群的同构与同态

LOGO第一章群论目录代数运算§1群的同构与同态§6群的概念§2子群§3循环群§4正规子群与商群§5有限群§7§6群的同构与同态定义6.1设),(G和),'(G是两个群.(1)若f是G到'G的一个双射,并且f保持代数运算,即f(b)f(a)baf)(,Gba,,则称f为群),(G到群),'(G的一个同构;不致混淆时,简称f为群G到群'G的一个同构或f为同构.(2)若存在群),(G到群),'(G的同构,则称群),(G与群),'(G同构,记作),'(),(GG;不致混淆时,简记作G'G.(3)群),(G到群),(G的同构称为群),(G的自同构,简称为群G的自同构.§6群的同构与同态例1设},,,{cbaeG为Klein四元群.我们知道,其乘法表为·eabceeabcaaecbbbceaccbae现在令}',',','{'cbaeG,其中1001'e,1001'a,1001'b,1001'c.§6群的同构与同态容易验证,'G关于矩阵的乘法构成一个群,其乘法表为对照群G和'G的乘法表容易发现,这两个群的结构没有本质上的差别,由下式确定的G到'G的映射f是同构:')(xxf,Gx.·'e'a'b'c'e'e'a'b'c'a'a'e'c'b'b'b'c'e'a'c'c'b'a'e§6群的同构与同态由定义可知,群的同构具有如下性质:Ⅰ.任何群G与自身同构;Ⅱ.若群1G与群2G同构,则群2G与群1G同构;Ⅲ.若群1G与群2G同构,群2G与群3G同构,则群1G与群3G同构.下面我们来阐明这些性质成立.首先,对于任何群G,单位变换GI就是G到自身的一个同构.因此GG.所以性质Ⅰ成立.§6群的同构与同态其次,假设1G和2G是两个群,并且21GG.不妨设f是群1G到群2G的同构.于是,f的逆映射1f是2G到1G的双射.对于任意的2','Gba,我们有''))''((1babaff,''))'(())'(())'()'((1111babffaffbfaff,从而，)'()'()''(111bfafbaf.§6群的同构与同态因此1f是群2G到群1G的同构,从而,12GG.所以性质Ⅱ成立.最后,假设21,GG和3G都是群,并且21GG,32GG.不妨设f是群1G到群2G的同构,g是群2G到群3G的同构.容易验证,gf是群1G到群3G的同构(从略).因此31GG.所以性质Ⅲ成立.§6群的同构与同态例2设G是一个群.任意取定Ga,定义G到自身的映射af如下:1)(axaxfa,Gx.容易验证,af是群G的一个自同构.事实上,对于任意的Gyx,,根据消去律,我们有yxayaaxayfxfaa11)()(.因此af是单射.对于任意的Gx,我们有xaxaaaxaafa111)()(,§6群的同构与同态因此af是满射,从而,af是双射.又因为对于任意的Gyx,,我们有1)()(axyaxyfa,)()())((11yfxfayaaxaaa.所以af是群G的自同构.af称为群G的一个内自同构.§6群的同构与同态例3设G是群,H是G的子群,Ga.考察集合1aHa.容易验证,1aHa是G的子群.显而易见,1aHa就是H在群G的内自同构af之下的象,即}|)({1HhhfaHaa.设G是群,N是G的子群.由正规子群的定义容易明白,N是G的正规子群当且仅当NaNa1,Ga.这样一来，我们可以用内自同构这一术语来表述正规子群:群G的正规子群就是在群G的任何内自同构之下都不变的子群.正因为如此,正规子群又称为不变子群.§6群的同构与同态设G是群,Gba,,H是G的子群.若存在Hh,使得1hbha,则称a与b在H中共轭.设G是群,H和K都是G的子群.若存在Gu,使得1uKuH,则称H与K共轭.显而易见,对于群G的任意给定的子群H,群G的元素之间的“在H中共轭”的关系是G上的一个等价关系.若令S表示G的所有子群构成的集合,则群G的子群之间的共轭关系是S上的一个等价关系.此外,根据定义,群G的正规子群也就是群G的只与本身共轭的子群.§6群的同构与同态定理6.2(Cayley定理)任何一个群都与某个变换群同构.证明设G是群.对于每一个Ga,定义G的变换aσ如下:axxσa)(,Gx.显而易见,aσ是G的一一变换.令}|{'GaσGa.下面我们来阐明'G是G上的一个变换群.§6群的同构与同态事实上,显然,我们有'GσIeG.此外,对于任意的',Gσσba,我们有)())((xσabxxσσabba,)())((11xIxxaaxσσGaa,)())((11xIxaxaxσσGaa,Gx,从而,'Gσσσabba,GaaaaIσσσσ11.所以'G是G上的一个变换群.§6群的同构与同态现在考察由下式定义的G到'G的映射f:aσaf)(,Ga.显而易见,f是满射.对于任意的Gba,,我们有baeσeσσσbfafbaba)()()()(.因此f是单射,从而,f是双射.此外,我们有)()()(bfafσσσabfbaab,Gba,.所以f是G到'G的同构,从而,'GG.□§6群的同构与同态推论6.3任何一个有限群都与某个置换群同构.定义6.4设),(G和),'(G是两个群.(1)若f是G到'G的映射,并且f保持代数运算,即)()()(bfafbaf,Gba,,则称f为群),(G到群),'(G的一个同态;不致混淆时,简称f为群G到群'G的一个同态.特别地,当f是单射时,称f为单同态;当f是满射时,称f为满同态.(2)群),(G到群),(G的同态称为群),(G的自同态,简称为群G的自同态.§6群的同构与同态显然,f是群G到群'G的同构,当且仅当f既是群G到群'G的单同态,又是群G到群'G的满同态.例4设G和'G是两个群,'e是'G的单位元.令')(eaf,Ga.则f是群G到群'G的同态.例5设G是一个群,N是G的正规子群.令aNaf)(,Ga.显然f是群G到商群NG/的一个满同态.这个满同态称为群G到商群NG/的自然同态.§6群的同构与同态命题6.5设f是群G到群'G的一个同态,e和'e分别是G和'G的单位元.那么,(1)')(eef;(2)11))(()(afaf,Ga.证明(1)由)()()()(efefeefef可知')(eef.(2)对于任意的Ga,我们有')()()()(11eefaafafaf,因此11))(()(afaf.□§6群的同构与同态设f是群G到群'G的一个同态,H和'H分别是G和'G的子群.令}|)({)(HaafHf,}')(|{)'(1HafGaHf,}')(|{)Ker(eafGaf,}|)({)Im(Gaaff.通常,)(Hf称为H在f之下的像;)'(1Hf称为'H在f之下的原像.这里,我们将)Ker(f和)Im(f分别称为f的核和象.显而易见,)()Im(Gff;f是单同态}{)Ker(ef;f是满同态')Im(Gf.§6群的同构与同态命题6.6设f是群G到群'G的一个同态.那么,(1))Ker(f是G的正规子群;(2))Im(f是'G的子群.证明设e和'e分别为群G和'G的单位元.(1)由于)Ker(fe,因此)Ker(f.对于任意的)Ker(,fba,我们有''')()()(eeebfafabf,从而,)Ker(fab.对于任意的)Ker(fa,我们有')'())(()(111eeafaf,从而,)Ker(1fa.所以)Ker(f是G的子群.§6群的同构与同态对于任意的)Ker(fx和任意的Ga,我们有')(')()()()()(111eafeafafxfafaxaf,从而,)Ker(1faxa.所以)Ker(f是G的正规子群.(2)显然)Im(f是'G的非空子集.对于任意的)Im(','fba,取Gba,,使得')(aaf,')(bbf.于是,我们有)()()())()(()'('1111abfbfafbfafba,从而,)Im()'('1fba.所以)Im(f是'G的子群.□§6群的同构与同态定理6.7设f是群G到群'G的一个同态.(1)若H是G的子群,则)(Hf是'G的子群;(2)若'H是'G的子群,则)'(1Hf是G的子群.证明(1)类似于命题6.6(2)的证明.(2)设'H是'G的子群.显然)'(1Hfe,从而,)'(1Hf.对于任意的)'(,1Hfba,我们有'))()(()()()(11Hbfafbfafabf,从而,)'(11Hfab.所以)'(1Hf是G的子群.□§6群的同构与同态定理6.8设f是群G到群'G的一个满同态.若N是G的正规子群,则)(Nf是'G的正规子群.证明设N是G的正规子群.根据定理6.7(1),)(Nf是'G的子群.对于任意的)('Nfn和任意的''Ga,取Nn和Ga,使得')(nnf,')(aaf.于是,我们有)()())()(()()'(''111Nfanafafnfafana.所以)(Nf是'G的正规子群.□§6群的同构与同态定理6.9(群的同态基本定理)若f是群G到群'G的一个满同态,则')Ker(/GfG.证明设f是群G到群'G的一个满同态.首先,根据命题6.6(1),)Ker(f是G的正规子群.其次,对于任意的Gba,,我们有)Ker()Ker()Ker(1fabfbfa)()(')())()((11bfafeabfbfaf.§6群的同构与同态这样一来,我们可以定义)/Ker(fG到'G的映射φ如下:)())Ker((affaφ,Ga.显而易见,φ是双射.此外,对于任意的Gba,,我们有))Ker(()))Ker())