1.8 最小二乘估计

-1-§8最小二乘估计§8最小二乘估计知识梳理典型透析随堂演练目标导航目标导航§8最小二乘估计知识梳理典型透析随堂演练目标导航知识梳理1.最小二乘法如果有n个点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y=a+bx的接近程度:[y1-(a+bx1)]2+[y2-(a+bx2)]2+…+[yn-(a+bxn)]2.使得上式达到最小值的直线y=a+bx就是我们所要求的直线,这种方法称为最小二乘法.其中a,b的值由以下公式给出:a,b是线性回归方程的系数.§8最小二乘估计知识梳理典型透析随堂演练目标导航知识梳理【做一做1】在最小二乘法中,用来刻画各样本点到直线y=a+bx“距离”的量是()C.|yi-(a+bxi)|D.[yi-(a+bxi)]2解析:最小二乘法的定义明确给出,用[yi-(a+bxi)]2来刻画各个样本点与这条直线之间的“距离”(即二者之间的接近程度),用它们的和表示这些点与这条直线的接近程度.答案:DA.|yi−𝑦|B.(𝑦𝑖−𝑦)2§8最小二乘估计知识梳理典型透析随堂演练目标导航知识梳理2.线性回归方程(1)线性回归方程的概念设n个样本点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),则𝑥=𝑥1+𝑥2+…+𝑥𝑛𝑛,𝑦=𝑦1+𝑦2+…+𝑦𝑛𝑛,则b=(𝑥1-𝑥)(𝑦1-𝑦)+(𝑥2-𝑥)(𝑦2-𝑦)+…+(𝑥𝑛-𝑥)(𝑦𝑛-𝑦)(𝑥1-𝑥)2+(𝑥2-𝑥)2+…+(𝑥𝑛-𝑥)2=§8最小二乘估计知识梳理典型透析随堂演练目标导航知识梳理注意:①线性回归直线是与n个样本点距离最近的直线;②线性回归方程的系数是用最小二乘法思想求出来的,虽然求的过程中主要用二次函数最值的求法,但运算较繁,教材上不作要求;③a,b的值被n个样本点唯一确定,n个样本点坐标给定后,应用公式即可计算出a,b,得到线性回归方程;④在写线性回归方程时,切勿写成y=ax+b,应写成y=a+bx.§8最小二乘估计知识梳理典型透析随堂演练目标导航知识梳理(2)求线性回归方程的步骤①分别计算𝑥,𝑦,𝑥1𝑦1+𝑥2𝑦2+⋯+𝑥𝑛𝑦𝑛,𝑥12+𝑥22+⋯+𝑥𝑛2;②分别计算b,a;③代入y=a+bx即得线性回归方程.§8最小二乘估计知识梳理典型透析随堂演练目标导航知识梳理【做一做2-1】由一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)得到线性回归方程y=bx+a,下面说法不正确的是()答案:B§8最小二乘估计知识梳理典型透析随堂演练目标导航知识梳理【做一做2-2】已知某工厂在某年里每月生产产品的总成本y(单位:万元)与该月产量x(单位:万件)之间的线性回归方程为y=0.974+1.215x,计算当x=2时,总成本y的估计值为.解析:由线性回归直线方程y=0.974+1.215x,得当x=2时,总成本y的估计值为y=0.974+1.215×2=3.404.答案:3.404§8最小二乘估计知识梳理典型透析随堂演练目标导航典例透析题型一题型二题型三题型四线性回归方程的意义【例1】已知一个线性回归方程y=2+1.2x,则变量x增加一个单位长度时()A.y平均增加1.2个单位长度B.y平均减少1.2个单位长度C.y平均增加2个单位长度D.y平均减少2个单位长度解析:在线性回归方程y=bx+a中,b是线性回归方程的斜率,a是截距.b代表x每增加一个单位长度,y平均增加的单位长度数.当b0时,若x每增加一个单位长度,y就增加b个单位长度;当b0时,若x每增加一个单位长度,y就减少|b|个单位长度.答案:A§8最小二乘估计知识梳理典型透析随堂演练目标导航典例透析题型一题型二题型三题型四§8最小二乘估计知识梳理典型透析随堂演练目标导航典例透析题型一题型二题型三题型四解析:由a=𝑦−𝑏𝑥,可知𝑦=𝑎+𝑏𝑥,即点(𝑥,𝑦)一定在回归直线上.在本题中s=𝑥,𝑡=𝑦,所以(s,t)一定在线性回归直线上,故选A.答案:A§8最小二乘估计知识梳理典型透析随堂演练目标导航典例透析题型一题型二题型三题型四求线性回归方程【例2】某化工厂为预测某产品的回收率y,需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系.现取了8对观测值,计算得:∑𝑖=18𝑥𝑖2=52,∑i=18yi=228,∑𝑖=18𝑥𝑖2=478,∑𝑖=18xiyi=1849,则𝑦对𝑥的线性回归方程是()A.y=11.47+2.62xB.y=-11.47+2.62xC.y=2.62+11.47xD.y=11.47-2.62x§8最小二乘估计知识梳理典型透析随堂演练目标导航典例透析题型一题型二题型三题型四解析:利用题目中的已知条件可以求出𝑥=6.5,𝑦=28.5,然后利用线性回归方程的计算公式得b=∑𝑖=18xiyi-8xy∑i=18𝑥𝑖2-8𝑥2=1849-8×6.5×28.5478-8×6.52≈2.62,a=𝑦−𝑏𝑥≈11.47,因此线性回归方程为y=11.47+2.62x.答案:A反思与以往的直线方程y=ax+b不同,在线性回归方程中,参数a,b的位置正好相反.§8最小二乘估计知识梳理典型透析随堂演练目标导航典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练2】已知x,y之间的一组数据如下表:x23456y34689对于表中数据,现给出如下拟合直线:①y=x+1;②y=2x-1;③y=85𝑥−25;④𝑦=32𝑥.根据最小二乘法的思想求得拟合程度最好的直线是______.(填序号)解析:由题意知𝑥=4,𝑦=6,∴b=𝑥1𝑦1+𝑥2𝑦2+𝑥3𝑦3+𝑥4𝑦4+𝑥5𝑦5-5𝑥𝑦𝑥12+𝑥22+𝑥32+𝑥42+𝑥52-5𝑥2=85,∴a=𝑦−𝑏𝑥=−25.∴y=85𝑥−25,故填③.答案:③§8最小二乘估计知识梳理典型透析随堂演练目标导航典例透析题型一题型二题型三题型四线性回归方程及其简单应用【例3】下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(单位:t)与相应的生产能耗y(单位:吨标准煤)的几组对照数据:x3456y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图;(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=bx+a;(3)已知该厂技术改造前100t甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100t甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤.§8最小二乘估计知识梳理典型透析随堂演练目标导航典例透析题型一题型二题型三题型四分析:(1)以产量为横坐标,以生产能耗对应的测量值为纵坐标在平面直角坐标系内画散点图;(2)应用计算公式求得线性相关系数b,a的值;(3)实际上就是求出当x=100时,对应的y的值.解:(1)散点图如图所示.§8最小二乘估计知识梳理典型透析随堂演练目标导航典例透析题型一题型二题型三题型四(2)由题意,得x1y1+x2y2+x3y3+x4y4=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5,𝑥=3+4+5+64=4.5,𝑦=2.5+3+4+4.54=3.5,∑𝑖=14xi2=32+42+52+62=86,所以b=66.5-4×4.5×3.586-4×4.52=66.5-6386-81=0.7,a=y−𝑏x=3.5−0.7×4.5=0.35.故线性回归方程为y=0.7x+0.35.(3)根据回归方程可预测,现在生产100t甲产品的生产能耗为0.7×100+0.35=70.35(吨标准煤),故预测生产100t甲产品的生产能耗比技术改造前减少了90-70.35=19.65(吨标准煤).§8最小二乘估计知识梳理典型透析随堂演练目标导航典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练3】某种产品的广告费支出额x(单位:百万元)与销售额y(单位:百万元)之间有如下对应数据:x/百万元24568y/百万元3040605070(1)画出散点图,判断变量x与y是否具有线性相关关系;(2)如果x与y具有线性相关关系,求线性回归方程;(3)预测当广告费用为7百万元时的销售额.§8最小二乘估计知识梳理典型透析随堂演练目标导航典例透析题型一题型二题型三题型四解:(1)散点图如图所示.由图可以看出,各点都在一条直线附近,所以广告费支出额x与销售额y之间具有线性相关关系.§8最小二乘估计知识梳理典型透析随堂演练目标导航典例透析题型一题型二题型三题型四(2)设线性回归方程为y=a+bx.列出下表,并用科学计算器进行有关计算.i12345xi24568yi3040605070xiyi60160300300560x=5,y=50x12+x22+x32+x42+x52=145,x1y1+x2y2+x3y3+x4y4+x5y5=1380于是可得b=1380-5×5×50145-5×52=6.5,a=𝑦−𝑏𝑥=50−6.5×5=17.5.所以所求的线性回归方程是y=17.5+6.5x.(3)当x=7时,y=6.5×7+17.5=63,所以当广告费为7百万元时,销售额约为63百万元.§8最小二乘估计知识梳理典型透析随堂演练目标导航典例透析题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点:不判断相关性就求线性回归方程而致错【例4】假设关于某设备的使用年限和所支出的维修费用如下表中统计资料所示:使用年限x/年123456维修费用y/万元5.00.80.56.57.01.2求y对x的线性回归方程,并检验能否用线性回归模型描述两个变量间的关系.错解:求出相关的数据直接代入公式求b,a,得出线性回归方程为y=0.16x+2.94.错因分析:没有先判断两个变量是否具有相关关系.§8最小二乘估计知识梳理典型透析随堂演练目标导航典例透析题型一题型二题型三题型四正解:画出散点图,如图所示,从散点图上看,这些点的分布几乎没有什么规则,虽然也可求出线性回归方程,但这时不能用线性回归模型描述两个变量之间的关系.§8最小二乘估计知识梳理典型透析随堂演练目标导航随堂演练123451.若有一个回归方程为y=2-1.5x,则变量x每增加1个单位长度时,变量y()A.平均增加1.5个单位长度B.平均增加2个单位长度C.平均减少1.5个单位长度D.平均减少2个单位长度答案:C§8最小二乘估计知识梳理典型透析随堂演练目标导航随堂演练123452.已知下表是x与y之间的一组数据,则y关于x的回归直线必经过点()x0123y1357中心点(𝑥,𝑦),§8最小二乘估计知识梳理典型透析随堂演练目标导航随堂演练123453.已知x,y的取值如下表所示:x234y546若y与x线性相关,且线性回归方程为y=bx+72,则𝑏等于()A.−12B.12C.−110D.110解析:由题表数据知𝑥=3,𝑦=5,又回归直线经过点(𝑥,𝑦),即过(3,5)点,所以5=3b+72,解得b=12.答案:B§8最小二乘估计知识梳理典型透析随堂演练目标导航随堂演练12345§8最小二乘估计知识梳理典型透析随堂演练目标导航随堂演练123455.某个服装店经营某种服装,在某周内获纯利润y(单位:元)与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据关系见下表:(1)求𝑥,𝑦;(2)画出散点图;(3)求纯利润y与每天销售件数x之间的线性回归方程.§8最小二乘估计知识梳理典型透析随堂演练目标导航随堂演练12345§8最小二乘估计知识梳理典型透析随堂演练目标导航随堂演练12345