3.2 简单的三角恒等变换

首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场3．2简单的三角恒等变换首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场想一想：1．sin2α2＝1－cosα2；cos2α2＝1＋cosα2；tan2α2＝1－cosα1＋cosα.2．sinα2＝±1－cosα2；cosα2＝±1＋cosα2；tanα2＝±1－cosα1＋cosα.以上公式称为半角公式，符号由α2所在的象限确定．做一做：1．已知cosα＝－15，π2απ，则sinα2等于(D)(A)－105(B)105(C)－155(D)155首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场做一做：1．已知cosα＝－15，π2απ，则sinα2等于(D)(A)－105(B)105(C)－155(D)155解析：∵π2απ，∴π4α2π2，∴sinα2＝1－cosα2＝1＋152＝35＝155，故选D.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场2．已知tanα2＝3，则cosα等于(B)(A)45(B)－45(C)415(D)－35解析：cosα＝cos2α2－sin2α2cos2α2＋sin2α2＝1－tan2α21＋tan2α2＝1－91＋9＝－45.故选B.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场3．下列各式中，值为12的是(D)(A)sin15°cos15°(B)2cos2π12－1(C)1＋cos30°2(D)tan22.5°1－tan222.5°解析：tan22.5°1－tan222.5°＝12tan45°＝12.故选D.4．已知sinθ2＋cosθ2＝233，那么sinθ＝________，cos2θ＝________.解析：∵sinθ2＋cosθ2＝233，∴1＋sinθ＝43，sinθ＝13，cos2θ＝1－2sin2θ＝1－29＝79.答案：1379首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场知识要点一：关于半角的正弦、余弦和正切公式的理解1．确定半角的正弦、余弦、正切无理表示式前符号的原则(1)如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号．(2)若给出角α的具体范围(即某一区间)时，则先求α2所在范围，然后再根据α2所在范围选用符号．(3)如给出的角α是某一象限角时，则根据下表决定符号：αα2sinα2cosα2tanα2第一象限第一、三象限＋、－＋、－＋第二象限第一、三象限＋、－＋、－＋第三象限第二、四象限＋、－－、＋－第四象限第二、四象限＋、－－、＋－首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场2.半角的正切公式的有理式形式tanα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.公式推导过程为：tanα2＝sinα2cosα2＝sinα2·2cosα22cos2α2＝sinα1＋cosα；tanα2＝sinα2cosα2＝sinα2·2sinα2cosα2·2sinα2＝1－cosαsinα.知识要点二：三角恒等变换需要注意的思想方法1．常值代换用某些三角函数值或三角函数式来代替三角函数式中的某些常数，使之代换后能运用相关公式使化简得以顺利进行．我们把这种代换称之为常值代换．如前面所讲到的“1”的代换就是一种特殊的常值代换．首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场2．切化弦当待化简式中，既含有正弦、余弦，又含有正切时，利用同角的基本三角函数关系式tanα＝sinαcosα将正切化为正弦和余弦，这就是“切化弦”的思想方法，切化弦的好处在于减少了三角函数名称，转化为正弦、余弦的恒等变换．3．降幂与升幂由C2α变形后得到公式：sin2α＝12(1－cos2α)，cos2α＝12(1＋cos2α)，运用它就是降幂．反过来，直接运用倍角公式或变形公式1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，就是升幂．4．角的变换角的变换沟通了已知角与未知角之间的联系，使公式顺利运用，解题过程被简化．常见的角的变换有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(α＋β)－(β－α)]，α＋β＝(2α＋β)－α等．5．配方法如1±sinα＝(sinα2±cosα2)2，4sin2α－4sinα＋1＝(2sinα－1)2.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场6．换元法利用公式中角的任意性，根据需要变换角的形式．例如由C(α－β)推C(α＋β)，再推C2α等．7．公式的逆用和变用灵活逆用和变用公式可以丰富三角恒等变换的方法．例如：T(α＋β)，可变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)(或asinα＋bcosα＝a2＋b2cos(α－φ))实为S(α＋β)(或C(α－β))的逆用．首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场三角函数的求值问题【例1】已知sinφcosφ＝60169，且π4φπ2，求sinφ，cosφ的值．思路点拨：由题目条件易知sinφ0，cosφ0，cos2φ0，且sinφcosφ.本题有两种思路，一种是先求cos2φ，再利用半角公式求sinφ，cosφ的值；另一种是构造关于sinφ，cosφ的方程组来求解．解：法一：因为sinφcosφ＝60169，所以sin2φ＝120169.因为π4φπ2，所以π22φπ，cos2φ0，所以cos2φ＝－1－sin22φ＝－1－1201692＝－119169，因为sinφ0，cosφ0.所以sinφ＝1－cos2φ2＝1＋1191692＝1213，cosφ＝1＋cos2φ2＝1－1191692＝513.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场法二：(sinφ＋cosφ)2＝1＋2sinφcosφ＝1＋120169＝289169，因为π4φπ2，所以sinφcosφ0，所以sinφ＋cosφ＝289169＝1713①又因为(sinφ－cosφ)2＝1－2sinφcosφ＝1－120169＝49169，所以sinφ－cosφ＝49169＝713②由①、②解得sinφ＝1213，cosφ＝513.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场三角函数的求值主要有三种类型，即给角求值、给值求值、给值求角．(1)给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数．(2)给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的角及函数的差异．一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用．同时也要注意变换欲求式，便于将已知式的函数值代入，从而达到解题的目的．(3)给值求角的关键是先求出该角的某个三角函数值，再判断该函数在对应区间的单调性，从而达到解题的目的．首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场变式训练11：已知|cosθ|＝35，且5π2θ3π，求sinθ2、cosθ2、tanθ2的值．解：∵|cosθ|＝35，5π2θ3π，∴cosθ＝－35，5π4θ23π2.由cosθ＝1－2sin2θ2，有sinθ2＝－1－cosθ2＝－1＋352＝－255.由cosθ＝2cos2θ2－1，有cosθ2＝－1＋cosθ2＝－55，tanθ2＝sinθ2cosθ2＝2.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场三角函数式的化简问题【例2】化简1＋cosθ＋sinθ1－cosθ＋sinθ＋1－cosθ＋sinθ1＋cosθ＋sinθ.解：原式＝2cos2θ2＋2sinθ2cosθ22sin2θ2＋2sinθ2cosθ2＋2sin2θ2＋2sinθ2cosθ22cos2θ2＋2sinθ2cosθ2＝2cosθ2cosθ2＋sinθ22sinθ2sinθ2＋cosθ2＋2sinθ2sinθ2＋cosθ22cosθ2cosθ2＋sinθ2＝cosθ2sinθ2＋sinθ2cosθ2＝cos2θ2＋sin2θ2sinθ2cosθ2＝112sinθ＝2sinθ.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场化简的原则是形式简单，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．本题两项分子、分母都较复杂，要充分利用倍角公式进行处理，对于根式形式的三角函数式的化简常以化去根号为目标，为此常使被开方的式子配成完全平方式，化简时要注意角的范围．首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场变式训练21：若3π2α2π，化简12＋1212＋12cos2α.解：∵3π2α2π，∴3π4α2π.∴原式＝12＋121＋cos2α2＝12＋12cos2α＝12＋12cosα＝1＋cosα2＝cos2α2＝－cosα2.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场三角恒等式的证明【例3】求证：tan(α＋π4)＋tan(α－π4)＝2tan2α.思路点拨：注意三个角之间的内在联系，(α＋π4)＋(α－π4)＝2α，(α＋π4)－(α－π4)＝π2.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场证明：法一：左边＝tan[(α＋π4)＋(α－π4)]·[1－tan(α＋π4)tan(α－π4)]＝tan2α·(1－tanα＋11－tanα·tanα－11＋tanα)＝2tan2α＝右边．故原等式成立．法二：左边＝tanα＋tanπ41－tanαtanπ4＋tanα－tanπ41＋tanαtanπ4＝tanα＋11－tanα＋tanα－11＋tanα＝1＋tanα2－1－tanα21－tan2α＝4tanα1－tan2α＝2tan2α＝右边．故原等式成立．首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场三角恒等式的证明过程实际上是有目标的三角函数式的化简过程，其证明原则是由繁到简．基本思路是通过观察分析等式两端的结构，注意两端角的差异、三角函数的差异，寻求证明的途径，左右归一或变更论证，消除等式两端的差异，达到形式上的统一．在所有这些差异中，应着重抓住角的差异．首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场变式训练31：已知cosA＝acosB－ba－bcosB，求证：tan2A2tan2B2＝a＋ba－b.证明：∵cosA＝acosB－ba－bcosB，∴1－cosA＝1－acosB－ba－bcosB＝a＋b1－cosBa－bcosB1＋cosA＝a－b1＋cosBa－bcosB，∴1－cosA1＋cosA＝a＋ba－b·1－cosB1＋cosB，即1－cosA1＋cosA·1＋cosB1－cosB＝a＋ba－b，∴tan2A2tan2B2＝a＋ba－b，即原式得证．首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场实际应用问题【例4】点P在直径AB＝1的半圆上移动，过P作圆的切线PT，且PT＝1，∠PAB＝α，问α为何值时，四边形ABTP的面积最大？解：如图，连结PB，∵AB为直径，∴∠APB＝90°，∵∠PAB＝α，AB＝1，∴PB＝sinα，PA＝cosα.又PT切圆于P点，则∠TPB＝∠PAB＝α.∴S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB＝12PA·PB＋12PT·PB·sinα＝12sinα·cosα＋12sin2α＝14sin2α＋14(1－cos2α)＝24sin(2α－π4)＋14.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场∵0απ2，－π42α－π434π，∴当2α－π4＝π2，即α＝38π时，四边形面积最大．应用题中以角为自变量有时会简化关系的寻找，给解题带来方便，但要注意变量的范围．首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场变式训练41：如图所示，在一块半径为R的半圆形的铁板中