高考数学 真题分类汇编 第二章数列(含解析)新人教版必修5

1数列1.（2012·重庆高考卷·T1·5分）在等差数列}{na中，5,142aa，则}{na的前5项和5S=A.7B.15C.20D.25[答案]B[解析]从.152)(52)(542515aaaaS[点评]考查等差数列的前n项和公式及性质，属基础题.2.（2012·四川高考卷·T12·5分）设函数()2cosfxxx，{}na是公差为8的等差数列，125()()()5fafafa，则2313[()]faaa（）A、0B、2116C、218D、21316[答案]D[解析]∵数列{an}是公差为8的等差数列，且125()()()5fafafa∴5)coscos(cos2521521aaaaaa）（∴,0)coscos(cos521aaa即55223521aaaa）（得43,4,2513aaa∴2313[()]faaa1613163)cos2(22251233aaaa[点评]本题难度较大，综合性很强.突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使用，需考生加强知识系统、网络化学习.另外，,0)coscos(cos521aaa隐蔽性较强，需要考生具备一定的观察能力.3.（2012·安徽高考卷·T4·5分）公比为2的等比数列{na}的各项都是正数，且311aa=16，则210loga（）（A）4（B）5（C）6（D）7【答案】B【解析】利用等比数列性质.设等比数列的公比为q，0na，则22221031171033122aaaaaq，所以5102a，故210log5a.【技巧点拨】等比数列运算是注意整体运算和等比数列的运用，这样可以提高解题效率，同时还应该注意运用选择题的题型特征，广开思路采用多种方法和技巧，快速突破.3．（2011年四川）数列na的首项为3，nb为等差数列且1(*)nnnbaanN．若32b，1012b，则8aA．0B．3C．8D．11【答案】B【解析】由已知知128,28,nnnbnaan由叠加法21328781()()()642024603aaaaaaaa4．（2011年四川）已知定义在0,上的函数()fx满足()3(2)fxfx，当0,2x时，2()2fxxx．设()fx在22,2nn上的最大值为(*)nanN，且na的前n项和为nS，则limnnSA．3B．52C．2D．32【答案】D【解析】由题意1(2)()3fxfx,在[22,2]nn上，2111()111331,()1,2,(),3,()()()lim1333213nnnnnnfxnfxnfxaSS5．（2011年上海）设{}na是各项为正数的无穷数列，iA是边长为1,iiaa的矩形面积（1,2,i），则{}nA为等比数列的充要条件为A．{}na是等比数列。B．1321,,,,naaa或242,,,,naaa是等比数列。C．1321,,,,naaa和242,,,,naaa均是等比数列。3D．1321,,,,naaa和242,,,,naaa均是等比数列，且公比相同。【答案】D6．（2011年全国大纲）设nS为等差数列na的前n项和，若11a，公差2d，224kkSS，则kA．8B．7C．6D．5【答案】D7．（2011年江西）已知数列{na}的前n项和nS满足：nmnmSSS，且1a=1．那么10a=A．1B．9C．10D．55【答案】A8．（2011年福建）已知函数f（x）=e+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C，给出以下判断：①△ABC一定是钝角三角形②△ABC可能是直角三角形③△ABC可能是等腰三角形④△ABC不可能是等腰三角形其中，正确的判断是A．①③B．①④C．②③D．②④【答案】B9.（2012·北京高考卷·T10·5分）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1=，S2=a3，则a2=_________，Sn=_________________.[答案]1，42nn[解析]本题考查等差数列的基本计算，难度不大，因为dadaaaS211132211ad，所以42)1(,12112nndnnnaSdaan[点评]等差、等比数列的通项公式、前n项和公式是必须要掌握的内容，并会熟练应用.410．（2011年湖南）设nS是等差数列{}na()nN，的前n项和，且141,7aa，则9S=．【答案】2511．（2011年重庆）在等差数列{}na中，3737aa，则2468aaaa__________【答案】7412．（2011年北京）在等比数列{an}中，a1=12，a4=-4，则公比q=______________；12...naaa____________。—2【答案】2121n13．（2011年安徽）已知ABC的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为_______________.【答案】31514.（2012·四川高考卷·T20·12分）已知数列{}na的前n项和为nS，且22nnaaSS对一切正整数n都成立。（Ⅰ）求1a，2a的值；（Ⅱ）设10a，数列110{lg}naa的前n项和为nT，当n为何值时，nT最大？并求出nT的最大值。[解析]取n=1,得,2a211212aassa①取n=2,得,222122aaa②又②-①，得2122)(aaaa③（1）若a2=0,由①知a1=0,(2)若a21012aa，易知,④由①④得：;22,1221aa;22,2121aa（2）当a10时,由（I）知，;22,1221aa当nnssan2222）时，有（,(2+2)an-1=S2+Sn-15所以，an=)2(21nan所以111)2()12()2(nnnaa令1112100lg21)2lg(1,10lgnnnnnbaab则所以，数列{bn}是以2lg21为公差，且单调递减的等差数列.则b1b2b3…b7=01lg810lg当n≥8时，bn≤b8=128100lg2101lg21所以，n=7时，Tn取得最大值，且Tn的最大值为T7=2lg22172771）（bb[点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查.第一，知识层面：考查等差数列、等比数列、对数等基础知识；第二，能力层面：考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力；第三，数学思想：考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想.15.（2012·湖南高考卷·T19·12分）已知数列{an}的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+……+an，B（n）=a2+a3+……+an+1，C（n）=a3+a4+……+an+2，n=1,2，……[来^&源:中教网@~%]（1）若a1=1，a2=5，且对任意n∈N﹡，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{an}的通项公式.（2）证明：数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意Nn，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列.【解析】解（１）对任意Nn,三个数(),(),()AnBnCn是等差数列，所以()()()(),BnAnCnBn即112,nnaaa亦即21214.nnaaaa故数列na是首项为１，公差为４的等差数列.于是1(1)443.nann6（Ⅱ）（１）必要性：若数列na是公比为ｑ的等比数列，则对任意Nn，有1.nnqaa由0na知，(),(),()AnBnCn均大于０，于是12)2311212(......(),()......nnnnqaaaaaaBnqAnaaaaaa231)342231231(......(),()......nnnnqaaaaaaCnqBnaaaaaa即()()BnAn＝()()CnBn＝q，所以三个数(),(),()AnBnCn组成公比为q的等比数列.（２）充分性：若对于任意Nn，三个数(),(),()AnBnCn组成公比为q的等比数列，则()(),()()BnqAnCnqBn，于是()()()(),CnBnqBnAn得2211(),nnaaqaa即2121.nnaqaaa由1n有(1)(1),BqA即21aqa，从而210nnaqa.因为0na，所以2211nnaaqaa，故数列na是首项为1a，公比为q的等比数列，综上所述，数列na是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N﹡，三个数(),(),()AnBnCn组成公比为q的等比数列.【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证.16.（2012·重庆高考卷·T21·12分）设数列na的前n项和nS满足121nnSaSa，其中20a.（I）求证：na是首项为1的等比数列；（II）若21a，求证：12()2nnSaa，并给出等号成立的充要条件.7[解析]（Ⅰ）证明：),,2(,*112121NnnaSaSaSaSnnnn是等比数列。数列}{,2,,,1,,,,,0,0),2(),2(1*2121221121211122212211221nnnnnnnnnnnnaaaNnaaaaaaaaaaaaaSaSaaaaanaaanSaSaSS（II）证明：当n=1或n=2时，易知)(21nnaanS成立，当12a时，)(21nnaannS成立；当12a时，),3)(1(211)(2,,11122211222nanaaaanSaaaaSnnnnnnnn①当112a时，上面不等式可化为),3)(2()2(1222nnnanaannn设,01,01,)2()(22212222nnnaananaanaf时不等式成立。上递增，在上递减，在令时，若10,2)1()()1,0()(,0)()(,0)1()()1,0()(,0))(1)(1)(2()(,1)1()2()(],1)1()2[()(10,2||)2()1()2()(2222222322222122221222222222anfafafanhafhahahaannahananahanannafanananaanafnnnnnnnn②当12a时，)1,0(12a，由已证结论得：).1(211],)1(1[211)1(1],)1(1[211)1(11222121222121222nnnnnnnnanaaanaaaaanaa综上所述，当),(201122nnaanSaa时，且当且仅当n=1,2或12a时等号成立.[点评]考查数列的通项与前n项和的关系、等比数列的证明，求和公式及不等式的证明，考查学生的运算能力和转化能力，以及对分类讨论思想、函数思想等常用数学思想方法的熟练程度，充分体现了数列的函数性，难度很大，平时复习中不宜过多涉及.17.（2012·安徽高考卷·T21·13分）8数列{}nx满足：2*110,()nn