高等数学-习题答案-方明亮-第十章

高等数学方明亮版第十章习题10.11.写出下列级数的前五项:（1）12)2(nnn;（2）1)2(42)12(31nnn;（3）1110)1(nnn;（4）1)1(!nnnn.解（1）222227564534231（2）1086429753186427531642531423121（3）501401301201101（4）543216!55!44!33!22!1.2.写出下列级数的一般项:(1)614121;(2)117957351132aaa;(3)36132511169974513;(4)86426424222xxxxx(0x).解（1）因为21121，22141，23161，因此一般项nun21(2)因为)312()112(5110a，)322()122(731aa)332()132(9522aa因此一般项)32)(12(1nnaunn（3）因为11)112()1(131，222)122()1(45，233)132()1(97因此一般项2)12()1(nnunn（4）因为21221xx，424222xx，64264223xxx，因此一般项!2)321(2)2(642222nxnxnxunnnnnn.3.判定下列级数的敛散性:（1）1)1(nnn;（2）1)12)(12(1nnn;（3）)1(1321211nn;（4）6πsin6π2sin6πsinn;（5）1)122(nnnn;（6）4331313131;（7）22111111()()()323232nn;（8）121297755331nn;（9）)(12112nnnaa（0a）;(10)nn)11(1)311(1)211(1111132.解（1）因为11)1()34()23()12(nnnSn当n时，nS，故级数发散.（2）因为)121121(21)12)(12(1nnnn)12)(12(1751531311nnSn)]121121()5131()311[(21nn]1211[21n,当n时，21nS，故级数收敛.(3)因为111)1(1nnnn，)1(1431321211nnSn111)111()3121()211(nnn当n时，1nS，故级数收敛.（4）因为6sin63sin62sin6sinnSn)6sin12sin263sin12sin262sin12sin26sin12sin2(12sin21n)]1212cos1212(cos)125cos123(cos)123cos12[(cos12sin21nn]12)12(cos12[cos12sin21n由于1212coslimnn不存在，所以nnSlim不存在，因而级数发散.（5）因为)1()12(122nnnnnnn)34()45()23()34()12()23[(nS)]1()12(nnnn)12(121)12()12(nnnn当n时，21nS，故级数收敛.(6)该级数的一般项)(013311nunnn，故由级数收敛的必要条件可知，该级数发散.(7)1133222131)2131()2131()2131()2131(nnnnnn131nn该级数为公比131q的等比级数，该级数收敛，而121nn该级数为公比121q的等比级数，该级数也收敛，故112131nnnn也为收敛级数.(8)该级数的一般项)(0112211212nnnnun，故由级数收敛的必要条件可知，该级数发散.(9)因为aaaaaaaaSnnnn121212353)()()(当n时，aSn1，故该级数收敛.(10)该级数的一般项)(01])11[()11(11nennunnn，故由级数收敛的必要条件可知，该级数发散.4.证明下列级数收敛，并求其和：)13)(23(11071741411nn.证)13()23(11071741411nnSn)1311(31)]131231()7141()411[(31nnn当n时，31nS，故该级数收敛，且31)13()23(11nnn.5．若级数1nnu与1nnv都发散时，级数1)(nnnvu的收敛性如何？若其中一个收敛，一个发散，那么，级数1)(nnnvu收敛性又如何？解若级数分别为11)1(111nnnu；(发散)nnnv)1(1111；（发散）则级数1)(nnnvu显然收敛；但是如果另外有级数11nnnnuw，则级数1)(nnnwu显然发散。即两个发散的级数相加减所得级数可能收敛，也可能发散。若其中一个级数1nnu收敛，另一个1nnv发散，则1)(nnnvu肯定发散.若不然，1()nnnuv收敛，则111()nnnnnnnvuvu应该收敛，与假设矛盾.同理，若1()nnnuv收敛,则111()nnnnnnnvuvu应该收敛，与假设矛盾.习题10.21.用比较判别法或其极限形式判定下列各级数的敛散性：（1）)4()1(1741631521nn;（2）1+715131;（3）222)12(1513111n;（4）22226)2(sin6)4(sin6)2(sinnn;（5）naaa1111112(0a).（6）n2πsin8πsin4πsin2πsin.解（1）由于145lim1)4)(1(1lim222nnnnnnnn而级数121nn收敛，由比较判别法的极限形式，故原级数收敛.(2)由于2112lim1121limnnnnnn，而级数11nn发散，由比较判别法的极限形式，故原级数发散.（3）由于41)12(lim1)12(1lim222nnnnnn而级数121nn收敛，由比较判别法的极限形式，故原级数收敛.（4）nnnnu616)2(sin2，而161nn为公比161q的等比级数，该级数收敛，由比较判别法,故级数126)2(sinnnn也收敛.（5）当1a时，nnnaau111，而11nna收敛，故111nna收敛当10a时，10,11,2111limlimaaaunnnn0limnnu，故111nna发散.（6）由于nnnnnn22sinlim212sinlim，而121nn收敛，故12sinnn也收敛.2.用比值判别法判别下列级数的敛散性：（1）nn323534132;（2）nnnn!33!332!2333322;（3）nn21sin21sin321sin221sin32;（4）12)!3()!(nnn;（5）12lnnnnn;（6）1!nnnn;（7）123nnn.解（1）nnnu32，1312331lim2333limlim11nnnnuunnnnnnn，故该级数收敛.（2）nnnnnu!3，13)111(lim3)1(3lim!3)1()!1(3limlim111ennnnnnnuunnnnnnnnnnnn故该级数发散.（3）nnnu21sin，1212121sin212121sinlim21sin21sin)1(limlim1111nnnnuunnnnnnnnnnn，故该级数收敛.（4）)!3()!(2nnun，10)33)(23)(13()1(lim)!(!3)]!1(3[])!1[(limlim2221nnnnnnnnuunnnnn，故该级数收敛.（5）nnnnu2ln，1211ln)1ln(21limln221)1ln(limlim11nnnnnnnnuunnnnnnn，故该级数收敛.（6）!nnunn，1)11(lim)1(lim!)!1()1(limlim11ennnnnnnuunnnnnnnnnn，故该级数发散.（7）nnnu32，131)1(31lim33)1(limlim22121nnnnuunnnnnnn，故该级数收敛.3.用根值判别法判定下列各级数的敛散性：（1）1)25(nnnn;（2）12)11(nnn;（3）12)2(2nnnnn;（4）131ennn;（5）1)(nnnab，其中abanaann,,),(均为正数；（6）1)0,lim,0(nnnnnnaaaxax．解（1）由于15125lim)25(limlimnnnnunnnnnnn，故该级数收敛.(2)由于1)11(lim)11(limlim2ennunnnnnnnn，故该级数发散.(3)由于12)21(21lim2)21(lim2)2(limlim22ennnnunnnnnnnnnnn，故该级数发散.(4)由于1313limlimeeunnnnnnn，故该级数发散.(5)abababunnnnnnnnnlim)(limlim当abab即,1，该级数收敛；当abab即,1，该级数发散；当abab即,1，不能判断.(6)axaxaxunnnnnnnnnlim)(limlim1）当0a时，该级数发散2）当a0时，有当axax即,1，该级数收敛；当axax即,1，该级数发散；当axax即,1，根值法不能判断.4.判别下列级数的敛散性：（1）432)43(4)43(3)43(243;（2）12sin)1(nnnn;（3）)1sin1()21sin21()1sin1(nn;（4）)321ln()221ln()121ln(222;（5）222sin2sin2sin333nn;（6）21cos32nnnn；（7）111)2(nnnee.解（1）nnnu)43(，14343lim)43(limlimnnnnnnnnnnu，故该级数收敛.（2）(1)sin,li