高等数学-第七版-ppt教案-17-4 泰勒公式与极值问题

一、高阶偏导数二、中值定理和泰勒公式三、极值问题就本节自身而言，引入高阶偏导数是导出泰劳公式的需要；而泰劳公式除了用于近似计算外,又为建立极值判别准则作好了准备.§4泰勒公式与极值问题数学分析第十七章多元函数微分学*点击以上标题可直接前往对应内容数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社(,)(,),(,)xyzfxyfxyfxy由于的偏导数一般仍,,xy然是的函数如果它们关于x与y的偏导数也导数有如下四种形式:22(,),xxzzfxyxxx2(,),xyzzfxyxyyx存在,§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题高阶偏导数二元函数的二阶偏后退前进目录退出f具有二阶偏导数．说明2(,),yxzzfxyyxxy22(,).yyzzfxyyyy数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社类似地可以定义更高阶的偏导数,例如(,)zfxy的三阶偏导数共有八种情形:xyyxffxy其中，这两个既有，又有的高阶偏导数称为.混合偏导数§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社2222(,),xyzzfxyyxxy23(,),(,),(,),xyxxyyfxyfxyfxy22(,),(,),(,).yxyyxyxfxyfxyfxy3323(,),xzzfxyxxx§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社因此有2222(e)e;xyxyzxx222(e)2e;xyxyzxyy222(2e)2e;xyxyzyxx2222(2e)4e;xyxyzyy22e,2e,xyxyzzxy§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题解由于例1322e.xyzzyx求函数的所有二阶偏导数和32222(2e)2e.xyxyzzxyxxyx数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社解2222,,zyzxxyxyxy因为所以二阶偏导数为22222222,()zyxyxxxyxy例2arctan.yzx求函数的所有二阶偏导数22222222.()zxxyyyxyxy§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题22222222,()zyxyxyyxyxy22222222,()zxxyyxxxyxy数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社注意在上面两个例子中都有22,zzxyyxxyyx即先对、后对与先对、后对的两个二阶偏导数相等.§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题但是这个结论并不对任何函数都成立，例如22222222,0,(,)0,0.xyxyxyxyfxyxy数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社其一阶偏导数为42242222222(4),0,()(,)0,0;xyxxyyxyxyfxyxy42242222222(4),0,()(,)0,0.yxxxyyxyxyfxyxy§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题00(0,)(0,0)(0,0)limlim1,xxxyyyfyfyfyy00(,0)(0,0)(0,0)limlim1.yyyxxxfxfxfxx数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社由此看到,这两个混合偏导数与求导顺序有关.在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢?先按定义把0000(,)(,)xyyxfxyfxy与表示成极限形式.§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题为此那么数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社因此有0000000(,)(,)(,)limxxxyyfxyyfxyfxyy00000(,)(,)limxfxxyfxyx000000(,)(,)1limlimyxfxxyyfxyyyx§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题0(,)(,)(,)lim,xxfxxyfxyfxyx由于数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社类似地有为使0000(,)(,)xyyxfxyfxy成立，必须使(1)、(2)这两个累次极限相等.下述定理给出了使(1)与(2)相等的一个充分条件．0000001(,)limlim(,)yxxyfxyfxxyyxy000000(,)(,)(,).(2)fxxyfxyyfxy0000001(,)limlim(,)xyyxfxyfxxyyxy000000(,)(,)(,);(1)fxyyfxxyfxy§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社定理17.7证令0000(,)(,)(,)Fxyfxxyyfxxy00()(,)(,).xfxyyfxy于是有00(,)()().Fxyxxx(4)对应用微分中值定理，1(0,1),使得0000(,)(,).xyyxfxyfxy(3)若(,)(,)xyyxfxyfxy与都在点00(,)xy连续，则§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题0000(,)(,),fxyyfxy数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社01(,),xfxxyy又作为的可导函数再使用微分中值定理，2(0,1),使上式化为000102()()(,).xyxxxfxxyyxy由(4)则有0102(,)(,)xyFxyfxxyyxy(5)0001()()()xxxxxx010010[(,)(,)].xxfxxyyfxxyxyxf为了得到,再令00()(,)(,),xfxxyfxy§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题12(0,1).数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社则有0000(,)(,)(,)Fxyfxxyyfxy用前面相同的方法,又可得到0304(,)(,)yxFxyfxxyyxy(6)当,xy不为零时，由(5),(6)两式又得01020304(,)(,)xyyxfxxyyfxxyy§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题0000(,)(,)fxyyfxy00()().yyy34(0,1).1234(0,,,1).(7)数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题在且相等，这就得到所要证明的(3)式.合偏导数都与求导顺序无关．注2这个定理对n元函数的混合偏导数也成立.例(,,),(,,),(,,),xyzxzyyzxfxyzfxyzfxyz(,)(,)xyyxfxyfxy与00(,)xy由定理假设都在点连故当时,(7)式的两边的极限存0,0xy如三元函数(,,)fxyz的如下六个三阶混合偏导数(,,),(,,),(,,)yxzzxyzyxfxyzfxyzfxyz续,注1若二元函数(,)fxy在某一点存在直到n阶的连续混合偏导数，则在这一点的所有()mmn阶混数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社若在某一点都连续，则它们在这一点都相等．今后在牵涉求导顺序问题时,除特别指出外,一般都假设相应阶数的混合偏导数连续．复合函数的高阶偏导数设(,),(,),(,).zfxyxstyst若函数,,f都具有连续的二阶偏导数，则复合函数((,),(,)),zfststst对于同样存在二阶连续偏导数.,zzxzysxsys;zzxzytxtyt§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题具体计算如下:数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社,,,zzzzststxy显然与仍是的复合函数其中是,,xy的函数,st关于的二阶偏导数:22zzxzxsxsxsss§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题,,,,.xxyystzstst是的函数继续求zyzysysyss数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社22222zxzyxzxsxyssxxs22222zxzxysxyssx同理可得§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题22222zxzyyzyyxsssyys2222222.zyzxzysxyyss数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社2222222zzxzxytxytttx2222zzxxzxyxyststxysttsx22.zztsst§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题2222222;zyzxzytxyytt2222;zyyzxzystxstysty数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社222(,),,.xzzzfxyxyx设求例3解这里z是以,xy为自变量的复合函数,它也可以改写成如下形式:(,),,.xzfuvuxvy由复合函数求导公式，有1.zfufvffyxuxvxuv,,,,ffuvxyuv注意这里仍是以为中间变量,为自变量的复合函数．§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社221zffxuyvx所以222fufvxuvxu22222221,fffyuvuyv§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题2221fufvyvuxxv,xuxvy数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社21zffxyyuyv222fufvyuvyu2221fufvyvuyyv2223221.xfxffuvvyyvy§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题21fvy数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社二元函数的中值公式和泰勒公式,与一元函数的拉也有相同的公式，只是形式上更复