高等数学7-1微分方程

第七章常微分方程•高等数学所研究的函数，是反映客观世界运动过程中量与量之间的一种关系。•但在实际问题中遇到稍为复杂的一些运动时，反应量与量之间的关系往往不能直接写出来，却比较容易地建立起这些变量及它们的导数（或微分）间的关系。•这中联系着自变量、未知函数及它的导数（或微分）的关系式，数学上称为微分方程。例1一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点),(yxM处的切线的斜率为x2,求这曲线的方程.解)(xyy设所求曲线为xdxdy2xdxy22,1yx时其中,2Cxy即,1C求得.12xy所求曲线方程为一、问题的提出§1.微分方程的基本概念P294-1例2列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶,当制动时列车获得加速度4.0米/秒2,问开始制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？解)(,tssst米秒钟行驶设制动后4.022dtsd,20,0,0dtdsvst时14.0Ctdtdsv2122.0CtCtsP294-2代入条件后知0,2021CC,202.02tts,204.0tdtdsv故),(504.020秒t列车在这段时间内行驶了).(5005020502.02米s开始制动到列车完全停住共需微分方程:凡表示未知函数、未知函数的导数或微分及自变量之间关系的方程叫微分方程.例,xyy,0)(2xdxdtxt,32xeyyy,yxxz实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.二、微分方程的定义微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之.分类1:常微分方程,偏微分方程.,0),,(yyxF一阶微分方程);,(yxfy高阶(n)微分方程,0),,,,()(nyyyxF).,,,,()1()(nnyyyxfy分类2:分类3:线性与非线性微分方程.),()(xQyxPy;02)(2xyyyx分类4:单个微分方程与微分方程组.,2,23zydxdzzydxdy微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.,)(阶导数上有在区间设nIxy.0))(,),(),(,()(xxxxFn微分方程的解的分类：三、主要问题-----求方程的解(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.,yy例;xCey通解,0yy;cossin21xCxCy通解解的图象:微分方程的积分曲线.通解的图象:积分曲线族.初始条件:用来确定任意常数的条件.过定点的积分曲线;00),(yyyxfyxx一阶:二阶:0000,),,(yyyyyyxfyxxxx过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.例3验证:函数ktCktCxsincos21是微分方程0222xkdtxd的解.并求满足初始条件0,00ttdtdxAx的特解.解,cossin21ktkCktkCdtdx,sincos221222ktCkktCkdtxd,22的表达式代入原方程和将xdtxdP297-3.0)sincos()sincos(212212ktCktCkktCktCk.sincos21是原方程的解故ktCktCx,0,00ttdtdxAx.0,21CAC所求特解为.cosktAx问题1：是否所有的微分方程都存在通解？答案：不是所有的微分方程都存在通解。22210400,0yyyyyy例如方程和都不存在实函数解，而方程只有解。通解：如果微分方程的解中含有任意常数的个数与它的阶数相同，则这个解称为通解。以上三个方程，有的没有实函数解；有的有解，但解中不含任意常数。所以，上述三个方程都不存在通解。问题2：微分方程的通解是否包含它所有的解？答：微分方程的通解不一定包含它所有的解。2240)0yyyxcy例如方程有通解（，但它不能包含方程的解。特殊的：未知函数的最高阶导数的系数为1的线性微分方程的通解能包含所有的解。微分方程；微分方程的阶；微分方程的解；通解;初始条件；特解；初值问题；积分曲线．小结本节基本概念：思考题函数xey23是微分方程04yy的什么解?思考题解答,62xey,122xeyyy4,0341222xxeexey23中不含任意常数,故为微分方程的特解.三、设曲线上点),(yxP处的法线与x轴的交点为Q,且线段PQ被y轴平分,试写出该曲线所满足的微分方程.一、填空题:1、022yxyyx是______阶微分方程；2、022cQdtdQRdtQdL是______阶微分方程；3、2sindd是______阶微分方程；4、一个二阶微分方程的通解应含有____个任意常数.二、确定函数关系式)sin(21CxCy所含的参数,使其满足初始条件1xy,0xy.练习题四、已知函数1xbeaeyxx,其中ba,为任意常数,试求函数所满足的微分方程.练习题答案一、1、3；2、2；3、1；4、2.二、.2,121CC三、02xyy.四、xyy1.作业P298：5、6