高等数学A(一)复习资料及PPT 上海大学出版社5

§7.无穷小的比较及应用x,x2,sinx当x→0时都为无穷小，,0lim20xxx但,1sinlim0xxx.lim20xxx两个无穷小之比的极限的各种不同情况，反映了不同的无穷小趋向于零的“快慢”程度的不同。定义：，且都不为设0,)(),(xx,0lim,0lim而是比称若,0lim高阶的无穷小；;)(o记作是比称,lim是与称,0limC是与称,1lim低阶的无穷小；;)(O记作.~~或记作同阶无穷小；等价无穷小。,0lim20xxx由,1sinlim0xxx)0(,)(22xxoxxx的高阶无穷小，是x→0时,x与sinx是等价无穷小:sinx~x,6)3(lim39lim323xxxxx)3(),3(92xxOx阶无穷小。的是关于称kCk,0lim,21cos1lim20xxx的二阶无穷小。关于是时，当xxxcos10一些重要的等价无穷小：x→0时，;~sinxxxx~tan;~arcsinxxxx~arctan;ln~)1(logaxxa;2~cos12xx;ln~1axax,~1)1(xx.~11nxxnxex~1xx~)1(ln有关等价无穷小的定理定理1：)(~o证：:”“,)(,~o要证设lim)1lim(1lim,011).()(oo:”“，设)(o)(limlimo则)(lim1o,101.~),(sinxoxx),()1ln(xoxx).(21cos122xoxx证毕定理2.(等价无穷小代换定理），或存在且设)(lim,~,~.limlim则同理，有.limlimff问题：?limlimff当然，,limlimff.limlimff定理：,~,~设.~则证：lim1lim1lim,1111limkk.~例：0limtansinlim3030xxxxxxxx,1limk且例题讨论求下列函数的极限：30sintanlim.2xxxxxxxxxxcoscossinsinlim30xxxxxcos)cos1(sinlim303202limxxxx.21”“00xbxaxsintanlim.10xbxax0lim.ba”“00xxcos1lim0xxexxxsin)11()1(lim.30xxxxx2lim0.2xxxexxx2sin)11()1(lim202若xx0lim3230limxxxx.01lim0xxx”“00)(2x22xx)2(xxxxxcossin1lim.40?cos1lim0xxxx)sincos1(lim0xxxxxxxx2)(lim20.23121xxx0limxxxarcsin10)sin1(lim.5xxx10)1(limxxxsin10)sin1(limxxxarcsinsinlim0.1eexxxe0limxxarcsinsin=e?xxx2)1cos(lim.6xxx210)cos(lim思考：xxx2)11cos1(lim11cos1)11cos1(limxxxxxx221lim2xx2)11(cosxxxe22lim=e.1e)sin1(lncossin1lim.70xxxxxx解一：]cossin1)[sin1(lncossin1lim20xxxxxxxxx原式=xxxxxxsinsinsinlim2021)1lim(21220xxx=1.)sin1(lncossin1lim.70xxxxxxxxxxxxsincos11sin1lim0原式2020cos1lim1sin1limxxxxxxx212sinlim20xxxx.12121解二：)0()1(lnlim.8aaannn”“0)1(lnlimln1anneanannlnlimnaln=1.,1limnna)0(a.1limnnn课外作业习题1—7(A)2，4，6（双）习题1—7(B)1（双），5，6§8.函数的连续性与间断点一、函数的连续性增量概念：设变量u从它的一个初值u1变到终值u2，则u2-u1叫做变量u的增量。记作u。即u=u2-u1注意：增量u可正可负。设y=f(x)在x0的某个邻域内有定义，定义如果当自变量x的增量x=x-x0趋于零时，对应的函数的增量y=f(x0+x)-f(x0)也趋于零，那么就称y=f(x)在x0点连续。点x0称为y=f(x)连续点。即若0)]()([limlim0000xfxxfyxx则y=f(x)在x0点连续。0)]()([limlim0000xfxxfyxx)()(lim000xfxxfx)()(lim00xfxfxx等价定义1如果y=f(x)满足(1)在点x0的某个邻域内有定义，存在，)(lim)2(0xfxx)()(lim)3(00xfxfxx则y=f(x)在x0点连续。时，有当0xx成立，)()(0xfxf等价定义2（“ε—δ”分析定义）f(x)在x0的某个邻域内有定义，,0,0则称f(x)在点x0处连续。，若)()(lim00xfxfxx，若)()(lim00xfxfxx称f(x)在点x0处左连续；称f(x)在点x0处右连续。)(lim)()(lim000xfxfxfxxxx)()(lim00xfxfxx重要结论：易证有理整函数、有理分式函数在其定义域内每一点都是连续的。处连续。在使试确定常数例：设1)(,,11111)(22xxfbaxxxbxxaxf如f(x)在(a,b)内每一点都连续，则称f(x)为(a,b)内的连续函数，或f(x)在(a,b)内连续。如f(x)在(a,b)内连续,且在a点右连续,在b点左连续，则称f(x)为[a,b]上的连续函数，或f(x)在[a,b]上连续。连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。xy00,0,xxxxyxyx,0xyx，及0例1：。在其定义域上是连续的xy在x=0处，均为连续函数；0lim0xxxx0lim=，即)0()00()00(fff;0处连续在xy。内处处连续在其定义域),(y证：讨论在x=1处的左右连续性。xy1122)1(lim)(lim11xxfxx)1(1lim)(lim211fxxfxx例2：1,1,1)(2xxxxxf解：=f(1))1()01()01()1(ffff即∴f(x)在x=1处不连续，而只在x=1处左连续。。使函数不连续的点称为间断点。二、函数的间断点设f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，(1)f(x)在点x0没有定义；(2)f(x)在点x0有定义,但不存在；)(lim0xfxx(3)f(x)在点x0有定义,且,)(lim0存在xfxx).()(lim00xfxfxx但则称f(x)在x0处不连续。在此前提下,如f(x)有下列三种情形之一：而点x0称为f(x)的不连续点或间断点。例1：xxxfsin)(间断点：x=0,xxxsinlim0考察=1若令f(0)=1,则000sin)(xxxxxfx=0为f(x)的连续点。例2：1sinlim0xxx)0(f所以x=0为间断点,若令f(0)=1,则x=0为f(x)的连续点。上述两例中的间断点称为可去间断点。例3.11arctanxy，又211arctanlim1xx,211arctanlim1xx∵y在x=1处无定义，∴间断点：x=1,。不存在11arctanlim1xx但左、右极限存在，则称间断点x=1为跳跃间断点。xy022。。1例4：21)(xxfy∵f(x)在x=0处无定义，∴间断点：x=0,201limxx考察极限,则称间断点x=0为无穷间断点。xy0例5.xy1sinxx1sinlim0考察xy间断点：x=0,不存在，且在x=0附近来回振荡，则称间断点x=0为振荡间断点。由以上的讨论，可将间断点分为两类：1.若f(x0+0),f(x0-0)都存在，则称x0为第一类间断点；2.不是第一类间断点的称为第二类间断点。如：可去、跳跃间断点。如：无穷、振荡间断点。例题讨论求下列函数的间断点，并判别类型：1.xey1解：间断点：x=0,xxef10lim)00(=0，xxef10lim)00(,∴x=0为第二类无穷间断点。2.1212)(11xxxf解：间断点：x=0,1212lim)00(110xxxfxx102lim=0，xx102lim,,11010)00(fxxx1102121lim=1，∴x=0为第一类跳跃间断点。3.xxxf2sin)(解：02sinx由),2,1,0(2kkxxxkx2sinlim2,,2,1(kk≠0)xxx2sinlim0,21∴x=0为第一类可去间断点；),2,1(2kkx为第二类无穷间断点。为间断点。4.xxexf111)(解：01x由1x011xxe由0x为间断点。xxxe1011lim,∴x=0为第二类无穷间断点。xxxe1111lim=0，xxxe1111lim=1，∴x=1为第一类跳跃间断点。5.xxxynnn2211lim解：为分段函数，)01(f1)01(f-1)01(fy1xx1x01xx)11(x)1,1(xx)1(x-1)01(f1≠≠∴x=±1为第一类跳跃间断点。y1xx1x01xx)11(x)1,1(xx)1(xxy0-11。。。。..课外作业习题1—8(A)1，3(2，4)，4(3，4，7，8)习题1—8(B)2，4，6