08 正、余弦定理及解三角形--高频考点

高考考点命题分析三年高考探源考查频率利用正、余弦定理解三角形解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点．2017课标全国Ⅲ152016课标全国Ⅰ42016课标全国Ⅲ9★★★★★解三角形的实际应用无★解三角形与其他知识的交汇问题2017课标全国Ⅰ112015课标全国Ⅱ17★★★考点1利用正、余弦定理解三角形题组一利用正、余弦定理解三角形调研1ABC△的内角,,ABC的对边分别为,,abc,已知3cossin3baCaC.(1)求A;(2)若3a,2bc,求ABC△的周长.【解析】(1)3cossin3baCaC,3,sinsincossinsin3BACAC由正弦定理得,3sincoscossinsincossinsin3ACACACAC,tan3A即,0πA又，,∴π3A.(2)22π,32cos3bcbc由余弦定理得,233bcbc即,2bc又,3bc,故33ABC△的周长为.调研2如图,ABC△中,角,,ABC的对边分别为,,abc,已知3sincosCcBb.(1)求角B的大小;(2)点D为边AB上的一点,记BDC,若π85π,2,5,25CDADa,求sin与b的值.【解析】(1)由已知3sincosCcBb,得3sinsincossinCCBB,因为sin0C,所以sin3tancos3BBB,因为0πB,所以π6B.(2)在BCD△中,因为sinsinsinCDBCaBBDC,所以8525sinsinBBDC,所以25sin5,因为为钝角,所以ADC为锐角,所以25coscosπ1sin5ADC,在ADC△中,由余弦定理,得22252cos(π)5425255bADCDADCD,所以5b.☆技巧点拨☆利用正、余弦定理解三角形的关键是利用定理进行边角互化．即利用正弦定理、余弦定理等工具合理地选择“边”往“角”化，还是“角”往“边”化．若想“边”往“角”化，常利用“a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC”；若想“角”往“边”化，常利用sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R，cosC＝a2＋b2－c22ab等．题组二与三角形面积有关的问题调研3如图，在ABC△中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC＝53，CD＝5，BD＝2AD．(1)求AD的长；(2)求ABC△的面积．【解析】(1)在ABC△中，因为BD＝2AD，设AD＝x(x＞0)，所以BD＝2x.在BCD△中，因为CD⊥BC，CD＝5，BD＝2x，所以cos∠CDB＝CDBD＝52x.在ACD△中，因为AD＝x，CD＝5，AC＝53，所以cos∠ADC＝AD2＋CD2－AC22×AD×CD＝2225(53)25xx.因为∠CDB＋∠ADC＝π，所以cos∠ADC＝－cos∠CDB，即2225(53)25xx＝－52x，解得x＝5.所以AD的长为5.(2)由(1)求得AB＝3x＝15，BC＝4x2－25＝53.所以cos∠CBD＝BCBD＝32，从而sin∠CBD＝12.所以S△ABC＝12×AB×BC×sin∠CBA＝12×15×53×12＝7534.题组三三角形形状的判断调研4ABC△中,角,,ABC的对边分别是,,abc，且cos3sinaCaCbc.(1)求A;(2)若2,aABC△的面积为3,试判断此三角形的形状.【解析】(1)由正弦定理及cos3sinaCaCbc得,sincos3sinsinsinsinACACBC，即sincos3sinsinsinsinACACACC3sinsincossinsinACACC,∵sin0C,∴13sincos1sin302AAA,∵0180A,∴3030150A,∴303060AA.(2)1sin342SbcAbc,由余弦定理得:2222cosabcbcA=23bcbc241242bcbcbc,∵60A,∴60BC,故ABC△是等边三角形.☆技巧点拨☆判断三角形的形状有以下几种思路：（1）转化为三角形的边来判断，可简记为“化角为边”；（2）转化为角的三角函数（值）来判断，可简记为“化边为角”．提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解.考点2解三角形的实际应用题组解三角形的实际应用调研1某新建的信号发射塔的高度为AB,且设计要求为:29米AB29.5米.为测量塔高是否符合要求,先取与发射塔底部B在同一水平面内的两个观测点,CD,测得60BDC,75BCD,40CD米,并在点C处的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为30°,且1CE米,则发射塔高ABA．2021米B．2061米C．4021米D．4061米【答案】A【解析】画出草图,如图所示,在BDC△中,45DBC,由正弦定理得sin206sinBDCBCCDDBC米;在AEF△中,30AEF,所以tan30202AFEF米,所以1(2021)ABAF米.选A．☆技巧点拨☆高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题．常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高度．调研2海中一小岛C的周围838nmile内有暗礁,海轮由西向东航行至A处测得小岛C位于北偏东75,航行8nmile后,于B处测得小岛C在北偏东60(如图所示).(1)如果这艘海轮不改变航向,有没有触礁的危险?请说明理由.(2)如果有触礁的危险,这艘海轮在B处改变航向为东偏南(0)方向航行,求的最小值.附:tan7523.【解析】(1)如图1,过点作直线AB的垂线,交直线AB于点D.由已知得15,30,15ACBDACB,所以8nmileABBC,所以在RtBCD△中,sinCDABCBD184nmile2.又4838,所以海轮有触礁的危险.(2)如图2,延长CD至E,使838nmileCE,故8312nmileDE,由(1)得43nmiletan30CDBD,所以8312tan2343DEDBEBD.因为tan7523,所以1tan152323.即tantan15DBE,所以15DBE.故海轮应按东偏南15°的方向航行.☆技巧点拨☆解决此类问题的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量．解题时应认真审题，结合图形去选择正、余弦定理，这是最重要的一步．考点3解三角形与其他知识的交汇问题题组一解三角形与三角恒等变换相结合调研1在ABC△中,,,abc分别为角,,ABC的对边,已知7,2cABC△的面积为33,2又tantanAB3tantan1.AB(1)求角C的大小;(2)求ab的值.【解析】(1)因为tantan3tantan1,ABAB所以tanAB=tantan3,1tantanABAB又因为,,ABC为ABC△的内角,所以2π,3AB所以π.3C(2)由133sin,22ABCSabC△及π,3C得6,ab又2222221cos222abcababcCabab,7,2c所以11.2ab题组二解三角形与平面向量相结合调研2如图,在ABC△中,已知点D在边BC上,且0ADAC,22sin3BAC,32AB,3BD．(1)求AD的长;(2)求cosC．【解析】(1)因为0,ADAC所以,ADAC所以πsinsincos,2BACBADBAD即22cos3BAD．在ABD△中,由余弦定理,可知2222cosBDABADABADBAD，即28150,ADAD解得5,AD或3AD．因为,ABAD所以3AD．(2)在ABD△中,由正弦定理,可知,sinsinBDABBADADB又由22cos,3BAD可知1sin,3BAD所以sin6sin3ABBADADBBD．因为π,2ADBDACCC所以6cos3C.1．（2017-2018学年陕西省西安中学高三上学期期中考试）已知ABC△中,,则A．B．C．D．【答案】A2．（2017-2018学年广东省百校联盟高三第二次联考）在ABC△中,角的对边分别为,若,且,则A．B．C．D．【答案】B【解析】因为,所以.因为,且,所以由余弦定理可知,,解得,即.故选B．3．（2017-2018学年天津市静海县第一中学高三12月学生学业能力调研考试）在ABC△中,内角的对边分别为,若,则ABC△的面积为A．3B．C．D．【答案】C4．（2017-2018学年广东省珠海市珠海二中、斗门一中高三上学期期中考试）如图,从气球上测得正前方的河流的两岸,的俯角分别为,,此时气球的高是,则河流的宽度等于A．mB．mC．mD．m【答案】C【解析】如图，由题意得,,,所以,,所以.选C．5．（2018届广东省揭阳市高三学业水平期末考试）ABC△的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知ABC△的面积为315,4a=2,b=3,则sinaAA．463B．161515C．4153D．463或161515【答案】D6．（2017-2018学年福建省厦门外国语学校高三上学期第三次阶段考试）在ABC△中,分别为内角的对边,且,则A．B．C．D．【答案】B【解析】因为,且,所以两式相减可得==,因为,所以,则2π3A,此时,则b=c,所以,故选B．7．（2017-2018学年广西柳州市高三毕业班上学期摸底联考）在锐角ABC△中,角所对的边分别为若则角等于__________．【答案】8．（2017-2018学年全国18名校大联考高三第二次联考）已知cos17,cos73AB，2cos77,2cos13BC,则ABC△的面积为__________.【答案】32【解析】由题意得1cAB,2aCB,·BCBA=2cos77cos172cos13cos73=2cos77cos17sin77sin17=2cos7717=1;而·cosBCBAABCBB=2cosB=1,解得1cos2B,所以3sin2B.所以ABC△的面积13sin22SacB.9．（2018届河南省中原名校高三上学期第五次联考）已知ABC△中,π2A,角ABC、、所对的边分别为abc、、,点D在边BC上,1AD,且BD=2,DCBAD=2DAC,则sinsinBC__________．【答案】32【解析】由π2A及2BADDAC可得BAD=π,3DAC=π6,由2BDDC,令,2DCxBDx则,因为1AD,在ADC△中,由正弦定理可得1πsinsin6xC,所以sinC=12x,在ABD△中,πsin33sin24Bxx,所以sinsinBC=32.10．（2017-2018学年河南省漯河市高级中学高三上学期第四次模拟考试）如图，为了测量河对岸AB、两点之间的距离,观察者找到一个点C，从点C可以观察到点AB、;找到一个点D,从