7. 2012年全国高中数学联赛福建预赛

预赛试题集锦（2013）高中竞赛1思维的发掘能力的飞跃2012年全国高中数学联赛福建省预赛一．填空题(每小题6分，共60分)1.已知集合12Axx＜，23loglogBxxx＞，则AB_______．2.已知函数2()3sin22cosfxxxa，若()fx在区间π02，上的最小值为1，则a的值为_______．3.若关于x的方程3239xxxa在区间[23]，上恰有两个不同的实根,则实数a的取值范围为_______．4.已知点O在ABC△内部，且324ABBCCAAO，记ABC△的面积为1S，OBC△的面积为2S，则12SS的值为_______．5.已知正三棱锥PABC底面正三角形的边长为23，内切球半径为21，则三棱锥的体积为_______．6.已知数列na中，11a，*1(1)()2nnnaannN，则数列na的前n项和为_______．7.有14个大小、形状相同的小球,其中7个红球,7个白球．它们分别装在甲、乙两个盒子内，其中甲盒子内装有4个红球、3个白球,乙盒子内装有3个红球、4个白球．现从甲盒子内随机摸出1个小球放入乙盒子内，再从乙盒子内随机摸出1个小球放回甲盒子内，记此时乙盒子内红球的个数为,则的数学期望E_______．8.不等式2lnxxx＞的解集为_______．(用区间表示)9.函数()235fxxx的最大值为_______．10.对正整数x，记2332222xxxxm，其中k为满足2kx≥的最小整数，符号[]x表示不超过x的最大整数．x与m的差，即xm称为正整数x的“亏损数”．(如，100x时，2345671001001001001001001005025126310972222222m，xm100973，因此，数100的“亏损数”为3．)则“亏损数”为9的最小正整数x为_______．二．解答题(每小题20分，共100分)11.已知数列na为等差数列，且25a，823a．数列nb是各项均为正数的等比数列，12b，且对任意正整数st，都有ststbbb成立．（1）求数列na、nb的通项公式；预赛试题集锦（2013）高中竞赛2思维的发掘能力的飞跃（2）求证：数列nb中有无数多项在数列na中．12.已知双曲线C：22221(00)xyabab，＞＞的离心率3e，其左焦点1F到渐近线的距离为2．（1）求双曲线C的方程；（2）若过点(2,0)D的直线l交双曲线于,AB两点，且以AB为直径的圆过坐标原点O．求直线AB的方程．13.如图,四边形ABCD是圆内接四边形，且ABCDADBC，E是对角线AC上一点．（1）若E是AC中点，求证：ABEDBC；（2）若ABEDBC,试问E是否为AC中点？说明理由．14.已知函数2()ln(1)2(1fxxaxx其中0)a＞．（1）当1a时，求()fx的最小值；（2）若[02]x，时，()0fx≥恒成立，求实数a的取值范围．15.已知集合P是由不超过2012的正整数组成的集合，即1232012P，，，，．集合A是集合P的子集，符号||A表示集合A中元素的个数，()SA表示集合A中所有元素的和．（1）若集合A中任意两个数的差都不是101的倍数，求||A的最大值；（2）若集合A中任意两个数的差都不是101的倍数，且任意两个数的和也不是101的倍数，求||A的最大值；（3）若集合A中任意两个数的差都不是101的倍数，且任意两个数的和也不是101的倍数，同时()2012SA，求||A的最大值．