应力状态和强度理论第二讲

zxyzxyzyx,,,,,可以证明，对上述应力状态一定可找到一个单元体，其三对相互垂直的面都是主平面，其上应力分别为：321,,空间应力状态共有18个分量，然而，根据切应力互等定理可知，独立的分量只有6个，即：空间应力状态：三个主应力都不等于零；平面应力状态：两个主应力不等于零；单向应力状态：只有一个主应力不等于零。该单元体称为主单元体。考虑图a所示主单元体中斜截面上的应力。对与3平行的斜截面：同理：和2平行的斜截面上应力与2无关，由1、3的应力圆确定；和1平行的斜截面上应力与1无关，由2、3的应力圆确定。下面分析空间应力状态下的最大正应力和切应力。进一步研究表明，一般斜截面abc面上应力位于图c所示的阴影部分内。由图可知，该面上应力、与3无关，由1、2来确定应力圆。cab121332(a)13323min231maxmax作用面为与2平行，与1或3成45°角的斜截面。所以，由1、3构成的应力圆最大，max作用点位于该圆上，且有：1max因为：注意：max作用面上，0。O321maxBDAmax(c)例7-1用应力圆求图a所示应力状态的主应力、主平面，最大切应力max及作用面。解：由图示应力状态可知z=20MPa为一主应力，则与该应力平行的斜截面上的应力与其无关。可由图b所示的平面应力状态来确定另两个主应力。202040(b)(a)20MPa20MPa40MPa20MPaxyzMPaxyyxyx60)20(4)2040(22040222222maxMPaxyyxyx40)20(4)2040(22040222222minO321maxBDAmax(c)例题7－2求图示微元体的主应力和最大切应力.解：这是主应力单元体305060（MPa）231maxτMPa5525060据定义得σ1=60MPaσ2=30MPaσ3=－50MPa例题7－3求图示微元体的主应力和最大切应力。解：这是特殊的三向应力状态。已知一个主平面和主应力，另两个主平面和主应力可按平面应力状态计算。223122xyyxyxMPa111552141021410221451210（MPa）xyz∴σ1=15MPaσ2=12MPaσ3=－11MPa231maxτMPa1321115§7-4应力与应变间的关系1、各向同性材料的广义胡克定律P时，ExEyEz2）纯剪应力状态：Gxxy1）单向应力状态：横向线应变：P时，xyxyxy3）空间应力状态：对图示空间应力状态：正负号规定：正应力分量同前，拉为正、压为负；切应力分量重新规定，正面（外法线与坐标轴指向一致）上切应力矢与坐标轴正向一致或负面上切应力矢与坐标轴负向一致时，切应力为正，反之为负。六个应力分量，,,,zyxzxyzxy,,对应的六个应变分量为：zxyzxyzyx,,,,,zxyxyxzzxyxzyyzyzx正负号规定：线应变分量以伸长正、缩短为负；切应变分量以使直角减小为正，反之为负。对各向同性材料，在线弹性、小变形条件下，正应力只引起线应变，切应力只引起切应变，应力分量和应变分量的关系可由叠加原理求得：三个正应力分量单独作用时，x方向的线应变为：ExxEyxEzxyxzzE1zyxxxxxE1zxyyE1同理可得：则可得：对切应力分量与切应变的关系，有：GxyxyGyzyzGzxzx上述六个关系式即为空间应力状态下，线弹性和小变形条件下各向同性材料的广义胡克定律。对平面应力状态：设z=0，xz=0，yz=0，有：yxzEyxxE1xyyE1xyxyG1若用主应力和主应变来表示广义胡克定律，有：213331223211111EEE21312221111EEE二向应力状态：,03设有12EG可见，即使3=0，但30而且各向同性材料有VV每单位体积的体积改变，称为体积应变，即：zyxVdddzyxzyxVddd1d1d1d1321321所以32132121E2、各向同性材料的体应变对图示主单元体，有：而变形后单元体体积为：321dxdydz任一点处的体积应变与三主应力之和成正比。对平面纯剪应力状态：0231；xy因此021321E即在小变形条件下，切应力不引起各向同性材料的体积改变，在空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应变有关，并有：32132121E例7-3已知一受力构件自由表面上某点处的两主应变值为1=240×10-6，3=–160×10-6。材料的弹性模量E=210GPa，泊松比=0.3。求该点处的主应力值数，并求另一应变2的数值和方向。解：因主应力和主应变相对应，则由题意可得：02即为平面应力状态，有3111E1331E联立两式可解得：MPa3.44101603.02403.011021016293121EMPa3.20102403.01603.011021016291323E669312103.34103.203.44102103.0E主应变2为：其方向必与1和3垂直，沿构件表面的法线方向。例7-4讨论图示各应力状态下的体积应变。MPa70321因为所以MPa7021EaMPa70321因为所以MPa7021Eb可见ba2010050(a)408050(b)可见，图c和d所示应力状态下无体积应变。0321因为所以0c0321因为所以0d4010060(c)(d)例7-5边长a=0.1m的铜立方块，无间隙地放入体积较大、变形可忽略的钢凹槽中，如图a所示。已知铜的弹性模量E=100GPa，泊松比=0.34。当受到F=300kN的均布压力作用时，试求铜块的主应力、体应变以及最大切应力。解：铜块应力状态如图b所示，横截面上的压应力为：(a)Faayxz(b)yxz01zyxxE01xyzzE联解可得：MPa5.15112yzxMPa30AFy受钢槽的限制，铜块在另两个方向的应变为零，并产生压应力，即有：7.25MPa231max利用空间应力状态下最大切应力的计算式可得：则铜块的主应力为：MPa30MPa5.15321，由此可得其体应变为：43211095.121E精品课件！精品课件！作业7-14,7-15,7-19,7-20