第四章 第四节 线性方程组解的结构

第四节线性方程组解的结构１．解向量的概念设有齐次线性方程组000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa若记（1）一、齐次线性方程组解的性质,aaaaaaaaaAmnmmnn212222111211nxxxx21则上述方程组（1）可写成向量方程.Ax01212111nnx,,x,x若为方程的0Ax解，则121111nx称为方程组(1)的解向量，它也就是向量方程(2)的解．２．齐次线性方程组解的性质（1）若为的解，则21x,x0Ax21x0Ax也是的解.证明02121AAA0021A,A.Axx的解也是故021（2）若为的解，为实数，则也是的解．1x0Axk1kx0Ax证明.kkAkA0011由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组的解空间．0Ax证毕.如果解系的基础称为齐次线性方程组,0,,,21Axt;0,,,)1(21的解的一组线性无关是Axt.,,,0)2(21出线性表的任一解都可由tAx１．基础解系的定义二、基础解系及其求法的通解可表示为那么的一组基础解系为齐次线性方程组如果0AxAxt,,0,,,21ttkkkx2211.,,,21是任意常数其中rnkkk２．线性方程组基础解系的求法00001001~,1,111rnrrrnbbbbA设齐次线性方程组的系数矩阵为，并不妨设的前个列向量线性无关．r于是可化为AAA00000100121,1,111nrnrrrnxxxbbbbnrn,rrrrnrn,rxbxbxxbxbx11111110Ax现对取下列组数：nrx,,x1rnnrrxxx21nrn,rrrrnrn,rxbxbxxbxbx1111111分别代入.,100,010,001依次得rxx1,bbr0011111,0102122rbb.bbrn,rrn,rn1001从而求得原方程组的个解：rn.bb,rn,rrn,1,bbr212,bbr111,下面证明是齐次线性方程组解空间的一个基．rn,,,21100,,010,001由于个维向量rnrn线性无关，所以个维向量亦线性无关.rnnrn,,,21.,,,)1(21线性无关证明n.,,,2)(21线性表示可由证明解空间的任一解都rn.11方程组的一个解为上述设Tnrrx,,,,rn的线性组合再作21rnnrr2211由于是的解故也是的解.rn,,,210Ax0Ax,.下面来证明0011111rrbb0102122rrbb1001rn,rrn,nbbrnnrr2211nrrrcc211,Ax的解都是方程与由于0又等价于而0Axnrnrrrrnrnrxbxbxxbxbx,11,11111,都是此方程组的解与所以nrrrcc211nrrr211由.c,,crr11方程组.故.rnnrr2211即所以是齐次线性方程组解空间的一个基.rn,,1说明１．解空间的基不是唯一的．２．解空间的基又称为方程组的基础解系．.kkkxrnrn2211３．若是的基础解系，则其通解为rn,,,210Ax.,,,21是任意常数其中rnkkk.0*7rnRsSAxnrARAnm的秩解集元齐次线性方程组，则）（的秩矩阵设定理);0,(,,)(维向量空间为向量此时解空间只含一个零系故没有基础解方程组只有零解时当nAR.,,,,,,,,,,,,)(1111221121RkkkkxSkkkkkxrnnrARrnrnrnrnrnrnrn解空间可表示为为任意实数其中方程组的解可表示为此时基础解系个向量的方程组必有含时当例1求齐次线性方程组0377,02352,0432143214321xxxxxxxxxxxx的基础解系与通解.解,0000747510737201137723521111~A对系数矩阵作初等行变换，变为行最简矩阵，有A.7475,7372432431xxxxxx便得,100143及令xx,7473757221及对应有xx,107473,01757221即得基础解系).,(,10747301757221214321Rccccxxxx并由此得到通解00000000001311034111~,rn,n,rAR352即方程组有无穷多解，其基础解系中有三个线性无关的解向量.543254321334xxxxxxxxx代入26220262201311034111~543xxx令,010,001.100例15).()(ARAART证明证.,维列向量为矩阵为设nxnmA;0)(,0)(,0xAAAxAAxxTT即则有满足若.0,0)()(,0)(,0)(AxAxAxxAAxxAAxTTTT从而推知即则满足若,0)(0同解与综上可知方程组xAAAxT).()(ARAART因此.0,1)(2121的解为对应的齐次方程则的解都是及设AxxbAxxx证明.021bbA.021Axx满足方程即bAbA21,１．非齐次线性方程组解的性质三、非齐次线性方程组解的性质证明AAA,0bb.的解是方程所以bAxx证毕．.,0,2)(的解仍是方程则的解是方程的解是方程设bAxxAxxbAxx.11rnrnkkx其中为对应齐次线性方程组的通解，为非齐次线性方程组的任意一个特解.rnrnkk11２．非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组Ax=b的通解为３．与方程组有解等价的命题bAx;,,,21线性表示能由向量组向量nb;,,,,,,,2121等价与向量组向量组bnn.,,,,,,,2121的秩相等与矩阵矩阵bBAnn线性方程组有解bAx４．线性方程组的解法（1）应用克莱姆法则（2）利用初等变换特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题．特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法．例16求解方程组.2132,13,0432143214321xxxxxxxxxxxx解:施行初等行变换对增广矩阵B2132111311101111B,00000212100211011~并有故方程组有解可见,,2)()(BRAR.212,2143421xxxxx,042xx取,2131xx则即得方程组的一个解.021021取中组在对应的齐次线性方程,2,43421xxxxx,100142及xx,210131及则xx程组的基础解系即得对应的齐次线性方,1201,001121于是所求通解为).,(,0210211201001121214321Rccccxxxx