逻辑代数基础

2020/1/281第二章逻辑代数基础2.1逻辑代数的基本概念2.2逻辑代数的基本定理和规律2.3逻辑函数表达式的形式与变换2.4逻辑函数的化简2.1.1三种基本运算两种取值，故称双值变量。前面介绍了数字信号是离散信号，其变量只有电路表示：高电位(UH);低电位(UL)双值代数表示：两个符号“1”;“0”这些变量进行三种基本运算：定义：逻辑代数是用于处理有限多个逻辑变量的.FEAB逻辑乘(与)、逻辑加(或)、逻辑反(非)定义：开关闭合为1，断开为0。灯亮为1，灯灭为0。一、与运算.真值表(概念)111100010000ABF功能表ABF断断灭断闭灭闭断灭闭闭亮FEAB.某个事件受若干个条件影响，若所有的条件都成立，其因果关系才成立，称为逻辑乘(与)。电路称为与门，与门的逻辑符号为：即F＝f(A，B)＝A∧B＝AB实现逻辑乘的逻辑ABF曾用符号AB&F国标符号ABF美国符号。二、或运算灭为0。定义：开关闭合为1，断开为0。灯亮为1，灯FEAB。111101011000ABF真值表亮亮亮功能表ABF断断断闭闭断闭闭灭FEAB☻一个事件的成立与否有许多条件，只要其中一个或几个条件成立，事件便成立，这样一种逻辑关系称逻辑加（或）。符号为：实现这种逻辑关系的电路称或门，或门的逻辑即F＝f(A，B)＝A∨B＝A＋BABF+曾用符号≥1ABF国标符号ABF美国符号三、非运算F-EbEAVccRcR1R2。非门的逻辑符号为：1001AF真值表AF曾用符号AF1国标符号功能表AF断亮闭灭完成非运算的电路称非门。函数式为：F＝A美国符号AF2.1.2逻辑函数及逻辑函数间的相等一、逻辑函数的定义(1)逻辑变量和逻辑函数的取值只有0和1。(2)函数和变量之间的关系由“与、或、非”三种基本运算决定。设某一逻辑电路的输入为A1A2……An，输出函数为F，当A1A2……An的值确定之后，F的值就唯一的确定了。称F为A1A2……An的逻辑函数。记为：F＝f(A1A2……An)。二、逻辑函数的相等设有F1＝f1(A1A2……An)F2=f2(A1A2……An)如果对应A1A2……An的任一组取值，F1和F2的值都相等，则称F1和F2相等。计为F1＝F2。判断两个逻辑表达式是否相等的方法有：1、列表法2、利用逻辑代数的公理、定理和规则证明。2.1.3逻辑函数的表示方法一、真值表(便于直观的观察变量和函数之间的关系)*二、逻辑函数表达式(便于获得逻辑电路图)*三、卡诺图(主要用于逻辑函数化简)四、时序图、时间图(工作波形图)*2.2.1逻辑代数的基本定理一、公理0＝11＝001＝01＋0＝100＝01＋1＝110＝00＋1＝111＝10＋0＝0。二、公式(可由公理推出)三、交换律0A=01+A=11A=A0+A=AAA=AA+A=AAA=0A+A=1AB=BAA+B=B+A。四、结合律A(BC)=(AB)C=(AC)BA+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+B五、分配律A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)*加法的分配律证:右式=AA+AC+AB+BC=A+AC+AB+BC=A(1+C+B)+BC=A+BC=左式。证：用真值表法证明AB=A+BAB=A+BA+B=AB六、摩根律0001111010110110010111110000ABABABABA+B。七、常用公式(2)A+AB=A+B(1)A+AB=A(4)AB+AC+BC=AB+AC(3)AB+AB=A冗余律添加律在两个乘积项中,若有一个变量是互反的,那么由这两个乘积项中的其它变量组成的新的乘积项就是多余的,可以消去。。证:左式=AB+AC+(A+A)BC=AB+AC+ABC+ABC=右式AB+AC+BC[1+DE(G+H)]=AB+AC+BC=AB+AC证:左式=AB+AC+BCDE(G+H)+BC=推广:AB+AC+BCDE(G+H)=AB+AC=AB(1+C)+AC(1+B)=AB+AC=右式2.2.2重要规则令B=BC代入式中,则A(BC)=A+BC=A+B+C例:AB=A+B仍然成立。出现A的位置都代之以同一个逻辑函数F,则等式任何一个含有变量A的逻辑等式,如果将所有一、代入规则.以此推广得到摩根律的一般形式:ABCD┅=A+B+C+D+┅A+B+C+D+┅=ABCD┅。二、反演规则号应保持不变。号的优先顺序不变。另外不属于单个变量上的反使用反演规则时,应注意保持原函数式中的运算符即由F(A.B.C…)求F(A.B.C…)+0110+AAAA。例1:F=A+B(C+DE)F=(A+B)C=A+B+C=AB+CF=AB+C(直接去掉反号)例2:F=AB+CF=A[B+C(D+E)]。三、对偶规则由F(A.B.C…)求F`(A.B.C…)(2)若两个逻辑式相等,则它们的对偶式也相等。(1)若一个定理是正确的,则其对偶式也一定正确。结论:0110++AAAA。即对对偶式再求对偶就得原函数本身。利用对偶规则有时可以简化等式的证明。例：试证A+BC=(A+B)(A+C)令:F1=A+BCF2=(A+B)(A+C)求两个函数的对偶:F1`=A(B+C)=AB+ACF2`=AB+AC所以F1`=F2`故F1=F2得证(3)(F`)`=F2.2.3几种导出(复合)的运算工程上常用的有:与非；或非；与或非；异或；同或。≥1＋FFF＝A＋BAAABBB1≥1ABF＆F＝ABFFAAABBB＆1ABF。AAABBBCCCDDDFFF=AB+CD≥1+≥1＆ABFCD&&1。•异或运算：F=AB=AB+AB•同或运算：F=AB=AB+AB异或的逻辑符号:=1AABBFFFAB曾用符号美国符号国标符号=1AABBFFFAB曾用符号美国符号国标符号同或的逻辑符号:。0001011010101101结论:偶数个变量的异或和同或是是互反的，奇数个变量的异或和同或是相同的。ABABAB异或和同或的真值表如下:。•异或和同或的基本运算公式AA=0AA=11A=A0A=A(2)0A=A1A=A11=000=100=011=1(1)10=01=101=10=0AA=1AA=0。(3)交换律AB=BAAB=BA(4)结合律A(BC)=(AB)CA(BC)=(AB)C(5)分配律=ABC+ABC=A(BC)=左式证:右式=ABAC+ABAC=AB(A+C)+AC(A+B)A(BC)=ABAC。A+(BC)=(A+B)(A+C)若AB=C则AC=B或BC=A若AB=C则AC=B或BC=A(6)因果互换律=A+BC+BC=A+(BC)=左式证:右式=A+BA+C+(A+B)(A+C)=ABC+A+BCABC000011101110。(7)常用式子1(1的个数为奇数)A1A2……An=0(1的个数为偶数)1(0的个数为偶数)A1A2……An=0(0的个数为奇数)2.2.4正逻辑与负逻辑☻各种逻辑运算最终是通过相应的逻辑门来实现的。☻如果把门电路的输入、输出电压的高电平赋值为“1”，低电平赋值为“0”，这种关系称为正逻辑关系。☻如果把门电路的输入、输出电压的高电平赋值为“0”，低电平赋值为“1”，这种关系称为负逻辑关系。。同一个逻辑电路，在不同的逻辑假定下，其逻辑功能是完全不同的。如下表：正逻辑负逻辑与门或门或门与门与非门或非门或非门与非门异或门同或门同或门异或门.•由上可见:同一个电路的正逻辑表达式与负逻辑表达式互为对偶式.ABF&≥1如:正逻辑与门F=AB,对应负逻辑的或门F=A+B2020/1/28372.3.1逻辑函数表达式的基本形式二种基本形式：积之和与和之积积之和：f(A,B,C)=AB+BC和之积:f(A,B,C)=(A+B)(B+C)一、标准与或式(积之和)、最小项和式如:F(A.B.C)=ABC+ABC+ABC二、标准或与式(和之积)、最大项积式如:F(A.B.C)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)形式出现一次，且仅出现一次。函数式的每一项中都必须以原变量或反变量的*标准式:n个变量组成的函数式，每个变量在2.3.2逻辑函数的标准形式一、最小项如果一个具有n个变量的函数的积项包含全部n个变量，每个变量都以原变量或反变量的形式出现一次，则这个积项称为最小项。若一个函数完全由最小项组成，则称其为标准与或(积之和)表达式。=m2+m3+m5+m6如：F(A，B，C)=ABC+ABC+ABC+ABC=)6,5,3,2(m。最小项的几个性质(1)n个变量一共有2n个最小项，但一个函数包含几个最小项由实际问题决定。(2)在输入变量的任何取值下，必有一个最小项且仅有一个最小项的值为1。如三变量ABC=101,则值为1的最小项是m5=即任意两个不相同的最小项的乘积为0。(3)mimj=0(i≠j)ABC=1。1201niim(4)所有最小项的和为1。例:F(A.B)=m0+m1+m2+m3=AB+AB+AB+AB=A(B+B)+A(B+B)=A+A=1(5)对于n变量的逻辑函数，两个相邻的最小项之和，得到一个(n-1)个变量的乘积项,即消去一个变量。相邻指两个最小项之间只有一个变量互反，其余相同。。二、最大项如果一个具有n个变量的函数的“和”项包含全部n个变量，且每个变量都以原变量或反变量的形式出现一次，则这个“和”项称为最大项。若一个函数完全由最大项组成，则称为标准或与(和之积)表达式。如：(6)任一个n变量的最小项，都有n个相邻的最小项。F(A,B,C)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)。=M0M2M4=)4,2,0(M量看作1。在最大项中，将和项中的原变量看作0，反变最大项的几个性质：(1)在输入变量的任何取值下,必有一个，且仅有一个最大项的值为0。如三变量ABC＝101，则(A+B+C)=0(2)任意两个最大项之和为1Mi+Mj=1(i≠j)。(3)全体最大项之积为0例:F(A,B)=(A+B)(A+B)(A+B)(A+B)=(A+AB+AB)(A+AB+AB)=AA=0例:m0=ABCM0=m0=ABC=A+B+C(5)Mi=mi+AC+BC=A+B例:(A+B+C)(A+B+C)=A+AB+AC+AB+B+BC于各相同变量之和,即消去一个变量。(4)只有一个变量不同的两个最大项的乘积等。ABC最小项编号最大项编号111ABCm7A+B+CM7110ABCm6A+B+CM6101ABCm5A+B+CM5100ABCm4A+B+CM4011ABCm3A+B+CM3010ABCm2A+B+CM2001ABCm1A+B+CM1000ABCm0A+B+CM02.3.3逻辑函数表达式的转换即将任意形式的表达式转换成“最小项之和”及“最大项之积”的形式。非最小项的“与项”扩展成最小项第二步：反复使用A＝A(B+B)，将表达式中所有第一步：将函数式变换成一般“与或”表达式用代数法求一个函数的“最小项之和”的形式：一、代数转换法。第一步：将函数表达式转换成一般“或与”式。最大项的“或项”扩展成最大项。第二步：反复利用A＝(A+B)(A+B)把表达式中非用代数法求一个函数的最大项之积的形式：。例1.将F(A,B,C)=(AB+BC)AB转换成最小项之和。=ABC+ABC+ABC+ABC+ABCF=AB(C+C)+AC(B+B)+BC(A+A)+AB(C+C)(2)变换为标准积之和=AB+AC+BC+ABF=AB+BC+AB=(A+B)(B+C)+AB解:(1)将表达式变换成“与或”表达式。。=m0+m1+m3+m6+m7=∑m(0,1,3,6,7)=[(A+B)(A+C)+B][(A+B)(A+C)+C]F=AB+AC+BC=ABAC+BC=(A+B)(A+C)+BC解:(1)将表达式变换成“或与”表达式例2.将F(A,B,C)=AB+AC+BC变换成最大项之积。。以上是利用加法的分配律进行折分，下面继续用加法的分配律：=(A+B+B)(A+B+C)(A+B+C)(A+C+C)=(A+B)(A+B+C)(A+B+C)=[(