数值分析PPT教案

绪论第一章插值法第二章数值积分和数值微分第三章曲线拟合的最小二程法第四章求非线性方程根的近似方法第五章线性代的方程组的直接法第六章解线性方程组的迭代法第七章矩阵特征值和特征向量计算第八章常微分方程数值解法计算方法参考书1.数值分析，翟瑞彩，天津大学出版社；2.计算方法，中山大学与武汉大学编写3.数值计算计算原理，李庆杨，关治，白峰彬，清华大学出版社4.计算方法引论，徐萃薇，科学出版社1.计算方法的任务与特点绪论实际问题数学问题提供计算方法程序设计上机计算结果分析计算方法2.基本的数学问题:1.大型线性代数方程组Ax=b求解;2.矩阵A的特征值和特征向量计算;3.非线性方程求解(求根);4.积分计算;5.常微分方程初值问题求解;6.其它。0)(xfdxxfba)(求精确解(值)一般非常困难。例如：1.方程组阶数n很大，例如n=20,计算机运算速度1亿次/秒,用不好的方法,大约需算30多万年;好方法不到一分钟。另外，有计算结果可靠性问题。2.特征值定义)0(xxAx0xAx0)(xIA0||IA3.形式复杂时求根和求积分很困难。4.线性微分方程易解，如非线性方程难解，如)(xf12'yyy1)0()0('yy1sin2yyyey1)0()0('yy希望：求近似解，但方法简单可行，行之有效（计算量小，误差小等）。以计算机为工具，易在计算机上实现。计算机运算:只能进行加，减，乘，除等算术运算和一些逻辑运算。计算方法：把求解数学问题转化为按一定次序只进行加，减，乘，除等基本运算——数值方法。3.数值分析研究对象与特点先看两个例子。例1求方程x2=2sinx，在区间(1,2)内的根。理论上可知显然找不出根的解析式，即无法求出精确解。例2用Cramer法则求解n元线性方程组。显然理论上可行，且有精确表达式。实际计算时会出现什么问题呢？实际问题数学模型上机计算求出结果数值计算方法看用数学和计算机解决实际问题的过程：应用数学研究的任务数值分析研究的对象最终提供的是针对各类数学问题的数值算法（即计算公式、计算方案、计算过程）3、具有好的计算复杂性4.数值分析提供的算法具有下面四个特点：1、面向计算机2、有可靠的理论分析4、通过数值实验验证有效性3、化整为零5.数值分析共同思想和方法：1、迭代法2、以直代曲4、外推法1.认识建立算法和对每个算法进行理论分析是基本任务，主动适应“公式多”的特点；2.注重各章建立算法的问题的提法，搞清问题的基本提法，逐步深入；3.理解每个算法建立的数学背景，数学原理和基本线索，对最基本的算法要非常熟悉；4.认真进行数值计算的训练，学习各章算法完全是为用于实际计算，必须真会算。本课程的基本要求掌握数值方法的基本原理掌握常用的科学与工程计算的基本方法能用所学方法在计算机上算出正确结果课程学习结束后你具备的能力1.对具体的数值计算问题，你会选择合适的算法，并通过计算机计算出正确结果；2.对给定的算法会从理论上分析其优劣性；3.会根据原理构造解决较简单数值计算问题的算法。§1.2误差基础知识,......!5!3sin53xxxx......!5)!3(sin53xxxx一.误差来源（分类）1.模型误差。2.观测误差。3.截断误差，如右端是截断误差。4.舍入误差。计算机字长有限，一般实数不能精确存储，于是产生舍入误差。例如：在10位十进制数限制下：舍入误差很小，本课程将研究它在运算过程中是否能有效控制。3333333333.031）本应33333333333.031(0000004.1)000002.1(2））本应（122104040000000000.0000004.1040000040000.1000004.1000002.1(实际问题确定数值解法上机求解用计算机解决实际问题的一般过程建立数学模型模型误差、观测误差截断误差舍入误差应用数学解决的问题数值分析解决的问题在此主要研究这两种误差二．误差基本概念1．绝对误差。设——准确值，——近似值。称为的绝对误差。为的绝对误差限。2．相对误差。称为的相对误差。实用中，常用表示的相对误差。称为的相对误差限。x*x**)(xxxe|)(|*xe*x*xxxxree*)(*)(*x**)(xxerxre*)(*x*x3．有效数字设若(1.1)则说具有n位有效数字，分别是若，则称为有效数。)21.0(10*pnmaaaax),0(1panmxx1021**xnaaa,,,21pn*x例1.1设=0.0270是某数经“四舍五入”所得，则误差不超过末位的半个单位，即：又,故该不等式又可写为由有效数字定义可知,有3位有效数字，分别是2,7，0。*x*)(xe*x41021*xx)270.0(10*1x311021*xx*xx例1.2=32.93,=32.89,故有3位有效数字，分别是3,2，8。由于中的数字9不是有效数字，故不是有效数。x1102105.004.0*xx321021*xx*x*x*x*x三、有效数位与误差的关系1.有效数位n越多，则绝对误差越小(由定义1.1)2.定理1.1若近似数具有n位有效数字，则(1.2)反之，若则至少有n位有效数字。*)(xenraxe1*)(10211nraxe11*)(10211*x*x两边除以得(1.3)和（1.4）给出了由自变量的误差引起的函数值的误差的近似式（误差传播）。四、数值运算的误差估计(误差的传播)1.一元函数情形设则，由Taylor展开公式),(xfy*)*)((*)()(**)(xxxfxfxfyyye*)(*)(*)(xexfye*)(**)(*)('*)(xrxxfxfyree)(**xfy(1.4)*)(*)(*)('**)(*)(*xeeerxfxfxyyyr)(**xfy（1.3）2.多元函数情形设，),,,(21nxxxfy*),*,*,(*21nxxxfy*)(*),*,*,(*)(211inniixexxxfye*)(**),*,*,(*),*,*,(*)(21211irinninirxexxxxfxxxfye2121),(xxxxf2121,xxxx)(21)21(***maxirirxexxe21,xx)2()1()21(****xexexxerrr)(*2)1()2()1()*2*1(***xexexexexxerrrrr则，由多元函数的Taylor展开公式类似可得（1.5）（1.6）在（1.6）式中，分别取,可得同号)（1.7）（1.8）（1.9）(,例1.3：测得某桌面的长a的近似值a*=120cm,宽b的近似值b*=60cm。若已知|e(a*)|≤0.2cm,|e(b*)|≤0.1cm。试求近似面积s*=a*b*的绝对误差限与相对误差限。2241.01202.060|*)(||*||*)(||*||*)(|*)(**)(**)(*)*,(*)(*)*,(*)(cmbeaaebsebeaaebbebbasaeabasse解:面积s=ab,在公式（1.5）中,将换为s=ab,则),(21xxfy相对误差限为%33.06012024|**)(||*)(|sseser§1.3选用算法应遵循的原则1.尽量简化计算步骤，减少乘除运算的次数.例如，计算多项式通常运算的乘法次数为若采用递推算法,则乘法次数仅为n.又如nnnxaxaaxp......)(102)1(......21nnn01)()0121(uxp,,,,n-n-kaxuuaunkkknn100111)111()1(11000110001nnnnnn2.防止大数“吃掉”小数当|a||b|时，尽量避免a+b。例如，假设计算机只能存放10位尾数的十进制数，则3.尽量避免相近数相减例如，当x很大时，应89981040000000000.0101.01004.010111xxxx)1(1111xxxx，2cos1sinsincos1xtgxxxx或当x接近于0时，应4.避免绝对值很小的数做分母当|b||a|时，应尽量避免。5.选用数值稳定性好的算法，以控制舍入误差高速增长例如若（误差）则计算时误差扩大了倍,而bannnIndxxxI515101823.056ln0I41021100I1005)1(511nnInI（n=1,2,…）是稳定的。范数范数是长度概念的推广,是一种度量定义,是测量两个函数,向量,矩阵等之间距离的一个非负实数.范数的定义形式多种多样,采用同的范数定义,可得不同的范数,但都满足以下的三个条件(公理化定义):1.(非负性)2.(齐次性)3.(三角不等式)称实数||X||为向量X的范数.###不同范数间的关系:等价.;00||||,0||||,XXXRXn||,||||||||,,XXRRXn.||||||||||||,,YXYXRYXn基本要求：1.熟悉计算方法在解决实际问题中所处的地位，熟悉计算方法是以计算机为工具求近似解的数值方法；2.熟悉绝对误差（限），相对误差（限）及有效数字概念；3.熟悉公式（1.2）--（1.9）；4.熟悉选用算法应遵循的原则；计算方法f(x)=0根或f(x)零点，当f(x)复杂时，很难求（找近似有效简单方法）。第二章求方程根的近似方法§2.1区间二分法理论:f(x)∈C[a,b],单调，f(a)f(b)0f(x)=0在(a,b)有惟一根。根分离：画草图，试算.多项式方程根的模的上下界。例2.1用二分法求在(1,2)内的根，要求绝对误差不超过解：f(1)=-50有根区间中点f(2)=140-(1,2)+f(1.25)0(1.25,1.5)f(1.375)0(1.25,1.375)f(1.313)0(1.313,1.375)f(1.344)0(1.344,1.375)f(1.360)0(1.360,1.375)f(1.368)0(1.360,1.368)010423xx21021f(1.5)0(1,1.5)nx1.51x364.1368.1360.1344.1313.1375.125.18765432xxxxxxx364.18*xx若取近似根2*1021004.0)360.1368.1(21||xx81,10212||21*nabxxn解出对分次数先验估计：优点：条件简单.缺点：收敛慢.不易求偶数重根.如图，则（事后估计）xy§2.2迭代法连续），，改写建立fxxxf()(0)(:.101,...)2,1,0()(xnxxnn取定初值，则若收敛，设极限为则产生数列...,,,...,,121nnxxxx一.迭代法的建立与收敛性)()(lim1limnnnnxx可作为近似值充分大时之根，故当是即1,0)(nxnxf)2lg(2100210)(xxxxxxx或形式不唯一，如：问题：收敛性不同。计算结果见表取取4.23)2lg(32100101xxxxxnnxnn2.收敛定理（定理2.2）],[)(bax在设为常数）LLxbax(1|)('|],,[)2(01101||3(],,[2],[)(1xxLLxxxbaxbaxxnnnn）（）收敛到）（；有唯一根在）方程则：（;)(1bxabxa时，）当（.)(,0)('1)(',0)(],,[,0)()(,0)()(),()((1)唯一故根递增，又使故至少