第八章：应力状态分析与强度理论

第八章：应力状态分析与强度理论应力状态分析和强度理论余辉[e-mail]应力状态分析和强度理论1问题的提出低碳钢和铸铁的拉伸实验低碳钢的拉伸实验铸铁的拉伸实验问题：为什么低碳钢拉伸时会出现45º滑移线？§8-1应力状态的概念应力状态分析和强度理论低碳钢和铸铁的扭转实验低碳钢的扭转实验铸铁的扭转实验问题：为什么铸铁扭转时会沿45º螺旋面断开？所以，不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的应力。应力状态分析和强度理论横截面上的正应力分布FNMz横截面上正应力分析和剪应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。FS横截面上的剪应力分布2应力的三个重要概念应力的点的概念应力状态分析和强度理论应力的面的概念过同一点的不同方向的截面上的应力各不相同，此即应力的面的概念。所以，讲到应力，应指明是哪一点在哪一方向面上的应力。应力状态的概念过一点的不同方向面上的应力的集合，称为这一点的应力状态。应力状态分析和强度理论应力指明哪一个面上？哪一点？哪一点？哪个方向面？过一点、在不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态。应力状态分析和强度理论3一点应力状态的描述单元体单元体的边长dx,dy,dz均为无穷小量；单元体的特点应力状态分析和强度理论单元体的边长dx,dy,dz均为无穷小量；单元体的特点单元体的每一个面上，应力均匀分布；单元体中相互平行的两个面上，应力相同。4主应力及应力状态的分类主应力和主平面切应力全为零时的正应力称为主应力；应力状态分析和强度理论4主应力及应力状态的分类主应力和主平面切应力全为零时的正应力称为主应力；主应力所在的平面称为主平面；主平面的外法线方向称为主方向。主应力用1,2,3表示(123)。应力状态分析和强度理论应力状态分类单向应力状态二向应力状态(平面应力状态)三向应力状态(空间应力状态)yxzxyzxyyxyzzyzxxz简单应力状态（单向应力状态）复杂应力状态（二向、三向应力状态）xyxyyxxy（1）（2）应力状态分析和强度理论由平衡即可确定任意方向面上的正应力和切应力。示例一：FPl/2l/2S平面应力状态分析和强度理论54321543211x122x22333S平面4PlFMz2PFFPS平面应力状态分析和强度理论示例二FPlaS应力状态分析和强度理论xzy4321S平面FPlaS应力状态分析和强度理论MzMx1pxWM1zzxWM143pxWM3pxWM4zzxWM3FPlaSyxz4321FSy应力状态分析和强度理论1二向应力状态的实例薄壁圆筒已知：p,D,δ。求x端部总压力42DpFAFxDDp424pD§8-2复杂应力状态的工程实例应力状态分析和强度理论求xDtDp42tpD4求t取研究对象如图。AFx应力状态分析和强度理论可得由沿y方向的平衡方程0yF02lplDt2pDt应力状态分析和强度理论可以看出：轴向应力x是环向应力t的一半。对于薄壁圆筒，有：所以，可以忽略内表面受到的内压p和外表面受到的大气压强，近似作为二向应力状态处理。4pDx2pDtpx5pt1020D应力状态分析和强度理论例8-1已知：蒸汽锅炉，δ=10mm,D=1m,p=3MPa。解：求：三个主应力。前面已得到MPa,75MPa150MPa,150MPa,75034pDx2pDtt1x2应力状态分析和强度理论2三向应力状态的实例铁路钢轨应力状态分析和强度理论二向应力状态的表示应力状态分析在已知过一点的某些截面上的应力时，求出过该点的任一截面上的应力，从而求出主应力和主平面。yx切应力的下标作用面的法线切应力的方向§8-3二向应力状态分析的解析法应力状态分析和强度理论二向应力状态的表示yx切应力的下标作用面的法线切应力的方向正负号规定正应力xx拉为正压为负xx应力状态分析和强度理论切应力使单元体顺时针方向转动为正；反之为负。xy''yxxy截面的方向角由x正向逆时针转到截面的外法线n的正向的角为正;反之为负。nyx应力状态分析和强度理论1、斜截面应力:xxyxyxxyxy外法线已知单元体受任意应力x、y、xy、yx，求任意截面应力。应力状态分析和强度理论•平衡对象——用斜截面截取的微元局部0tF0nF平衡方程——参加平衡的量——应力乘以其作用的面积σxσyτxyτyxxyznαxσαταyyxdAqntx应力状态分析和强度理论cos)cos(dAxydA(sin)sin0dA+dA(cos)sinxy+dA(sin)cosyx0nF+2sinsincosx2y2x++2sin2cos22xyxyxyyxxydAntdAcosdAsinx应力状态分析和强度理论dAxdA(cos)sinxydA(cos)cos0+ydA(sin)cos+yxdA(sin)sin0tF2cos2sin2xyx+yyxxydAntdAcosdAsinx应力状态分析和强度理论平面应力状态分析2sin2cos22xyxyx++2cos2sin2xyx+斜截面公式应用条件：1）微体（应力均布时，非微体亦可）。2）平衡（与物性条件无关）。应力状态分析和强度理论例题8-2已知一点应力状态，求图中斜面上应力。解：已知MPax100)(1142sin2cos22MPaxyxyx++)(352cos2sin2MPaxyx+MPa114MPa35DMPa60MPa100MPa50xy6030MPay5060；MPax30应力状态分析和强度理论1应力圆(莫尔圆)方程由公式2sin2cos22xyyxyx++2cos2sin2xyyx+2sin2cos22xyyxyx+平方相加，得222222xyyxyx+++§8-4二向应力状态分析的图解法应力状态分析和强度理论222222xyyxyx+++这是以、为变量的圆的方程。xy+222421xyyxR+ROC应力状态分析和强度理论3、应力圆上的点与单元体面上的应力的对应关系(1)点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一方向面上的正应力和切应力;应力状态分析和强度理论基准相当(2)转向一致半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；D点和x面是基准;应力状态分析和强度理论(2)转向一致半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；(3)转角两倍半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍。应力状态分析和强度理论4应力圆的应用确定主应力、主方向应力圆与横轴的交点A1、B1处，剪应力为零。它们的横坐标即为主应力。从半径CD转到CA1的角度即为从x轴转到主平面的角度的两倍。应力状态分析和强度理论主应力即为A1,B1处的正应力。22minmax22xyyxyx++圆心坐标应力圆半径应力状态分析和强度理论主方向CADA02tan2/)(yxxyyxxy2应力状态分析和强度理论确定面内最大切应力主剪面对应于应力圆上的G1和G2点。面内最大切应力的值等于应力圆的半径。22max2xyyx+)(21minmax应力状态分析和强度理论xxADodacx'yy'45ºxbeBE单向应力状态的应力圆2×45º2×45º应力状态分析和强度理论BE’’x'y'odacbe2×45º2×45ºxxBE应力状态分析和强度理论oa(0,)d(0,-)ADbec2×45º2×45º'＝＝BE纯切应力状态的应力圆应力状态分析和强度理论yyxxyxO2应力圆的画法DDRxy+2CD(x,xy)D(y,yx)22421xyyxR+应力状态分析和强度理论例题8-3已知：x=80MPa,y=-40MPa,xy=-60MPa,yx=60MPa。解：求：用应力圆求主应力和主方向。作应力圆:60,80xyx由D点60,40yxy由D'点画出应力圆应力状态分析和强度理论60,80xyx由D点60,40yxy由D'点画出应力圆E应力状态分析和强度理论2yxOC+圆心坐标2)40(80+20半径222xyyxR+22)60(2)40(80+85.8485E应力状态分析和强度理论11OAROC3主平面从D点(x轴)逆时针转45º至A1点，4520圆心坐标20OC半径85RROC+MPa105MPa65E由几何关系OCOECE208060xxyED605.220E应力状态分析和强度理论E主平面从D点(x轴)逆时针转45º至A1点，4520由几何关系OCOECE208060xyED605.220E应力状态分析和强度理论例题8-4某平面应力状态单元体如图所示，设σ及τ为已知，试解：确定其主应力及主平面。(1)解析法:已知由式(8-7),有τσx0yxy22minmax)2(2+应力状态分析和强度理论故得主应力为由式(8-6)可得主平面的方位角,,)4(21221++02)4(21223+22tan0画出主单元体如图所示.应力状态分析和强度理论由已知条件在σ-τ坐标系中作应力圆如图所示在图中可求出这种σy＝0的应力状态，在今后将经常遇到。(2)图解法:1OA31OB012DCAE应力状态分析和强度理论例题8-5求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)解：画应力坐标系AB的垂直平分线与轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆)325,45(B)325,95(A在坐标系内画出点解法一：应力圆法12C2p3O20MPaBA)325,95()325,95(AB4532532595应力状态分析和强度理论主应力及主平面02012032130p312C2pO20MPaBA)325,95()325,95(12pAB4532532595应力状态分析和强度理论解法二：解析法解：建立坐标系MPa325MPa45xy?xMPa325MPa95606060602cos2sin2+xyx确定x求出123ABxy604532532595AB4532532595应力状态分析和强度理论三向应力状态三个主应力均不为零的应力状态。yxzxyzxyyxyzzyzxxz§8-5三向应力状态简介应力状态分析和强度理论特例至少有一个主应力的大小方向为已知。zxyxyyxyxyyxxz平面应力状态即为这种特例之一。应力状态分析和强度理论σ1σ2σ3σ1σ2σ3σ2σ1σ3三种特殊的斜面//1斜面上应力与1无关，由23作应力圆I32