第九章 质点动力学基本方程

第九章质点动力学的基本方程复习——点的运动学矢量r、v、a的关系运动学方程由运动学方程求轨迹方程、r、v、a直角坐标法自然法弧坐标自然轴系（自然坐标法）法2ddtnvvanaant2复习——刚体的简单运动3复习——点的合成运动“一点两系三运动”一点：动点两系：静系、动系三运动：绝对运动、相对运动和牵连运动速度合成定理reavvv加速度合成定理复习——刚体的平面运动5平面运动的概念平面运动=随O’X’Y’的平移+绕O’点的转动平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择有关，而绕基点转动的规律与基点选取无关。平面运动的计算基点法速度投影定理瞬心法平面运动的加速度的计算运动学综合应用合成运动法：两个都在运动的刚体，有相对运动平面运动法：一个刚体，由已知运动的点，求其它点的运动。ntBABAABAABaaaaaa2ntABaABaBABA6动力学一、力学模型研究物体的机械运动与作用力之间的关系。1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。例如：卫星；刚体平动由有限或无限个有着一定联系的质点组成的系统。自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。质点系是力学中最普遍的抽象化模型；包括刚体，弹性体，流体。2.质点系：刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离不变的质点组成。又称为不变质点系。8三.动力学分类质点动力学质点系动力学是质点系动力学的基础。第一类：已知物体的运动情况，求作用力；第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动综合性问题：已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动；已知主动力，求运动，再由运动求约束反力。四.动力学的基本问题§9－1动力学的基本定律§9－2质点的运动微分方程10§9-1动力学的基本定律质点动力学基本方程给出了质点受力与其运动变化的关系，其基础是牛顿三定律。不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。不受力作用的质点（包括受平衡力系作用的质点），不是处于静止状态，就是保持其原有的速度（包括大小和方向）不变，这种性质称为惯性。1、第一定律（惯性定律）11当质点受到多个力作用时，该式中的力F应为共点力系的合力。从该式还可以看出，质点质量越大，其运动状态越不容易改变，也就是质点的惯性越大，因此，质量是质点惯性的度量。2、第二定律F=ma12两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。这一定律就是静力学的公理四，它不仅适用于平衡的物体，而且也适用于任何运动的物体。3、第三定律13上述三个定律适用的参考系称为惯性参考系。如无特别说明，取与地球固连的坐标系为惯性参考系。以牛顿三定律为基础的力学，称为古典力学。在此范畴，质量、空间和时间是“绝对”的，与运动没有关系。适用范围：惯性坐标系，速度远小于光速由22dtrdaFdtrdm22矢量形式的质点运动方程。§9－2质点运动微分方程F=ma1.直角坐标系的投影式zyxFdtdzmFdtdymFdtdxm222222直角坐标形式的质点运动微分方程。zxyMryxzoFav2.自然坐标系的投影式0α,ρvα,dτdvαb2nτbnttFFvmFdtdvm022nbnaaFnFaFM自然轴投影式的质点运动微分方程17①选择研究对象（一般选联系已知量和待求量的质点）②受力分析,画出受力图③运动分析（分析质点运动的特征量）。④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）⑤求解未知量。动力学解题步骤：例:曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度ω转动,OA=r,AB=l,当λ＝r/l比较小时,以O为坐标原点,滑块B的运动方程可近似写为如滑块的质量为m，忽略摩擦及连杆AB的质量，试求当φ＝ωt=0和π/2，连杆AB所受的力。ttrlx2cos4cos412第一类基本问题解:选滑块为研究对象画受力分析图cosFmax其中ttrxax2coscos2待求量：连杆AB所受的力20,1,0xar时且得12mrFttrxax2coscos2cosFmaxlrlrax222cos,2且时当有lrlFmr222得2222rlmrFcosFmaxttrxax2coscos2例：小球质量m，试求绳子张力、小球速度。解：00sincossinsinsincoscosττ2namaglmFlvlvmmaFmgFmgF第一类基本问题例：质量为m的质点带有电荷e，以速度v0进入强度按E=Acoskt变化的均匀电场中，初速度方向与电场强度垂直，如图所示。质点在电场中受力F=-eE作用。已知常数A，k，忽略质点的重力，试求质点的运动轨迹。第二类基本问题须确定运动的初始条件，才能确定质点的运动取质点的初始位置O为坐标原点，取x，y轴如图所示，而z轴与x，y轴垂直。于是力在三轴上投影为Fx=Fz=0,0dddd22tvmtxmxkteAtvmtymycosdddd22解：kteAFycos,0,00yxvvvt时初始条件：0d0xvvxv积分：tvytktmeAvy00dcosdtvytktmeAvy00dcosd0ddvtxvx得ktmkeAtyvysindd求:质点的运动轨迹初始条件：t=0时，x=y=0积分：tvxtxdd000tytktmkeAy00dsind,0tvx)1(cos2ktmkeAy得质点运动方程消去时间t，得轨迹方程1)cos(2xvkmkeAyo例：粉碎机滚筒半径为Ｒ，绕通过中心的水平轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使小球获得粉碎矿石的能量，铁球应在θ=θ0时才掉下来。求滚筒每分钟的转数n。混合问题解：选铁球为研究对象Rnv30其中解得时当,0,0NF0cos549.9Rgn球不脱离筒壁。时当,49.9Rgn