线性代数讲义ppt 第四章 线性方程组(考试复习必备)

2020/1/291第四章线性方程组将方程组得解与空间联系起来；进一步剖析方程组解集的结构。2020/1/292§4.1齐次线性方程组对于线性方程组（未知量的个数与方程的个数相等）nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121112121112020/1/293a.)如果其系数行列式不等于零，可由利用克拉默法则来求解。此时只有唯一解。那么就没有必要去考虑解空间。b.)否则，有如下两种情况：2020/1/294（1）系数行列式等于零；（2）线性方程组的未知量个数与方程的个数不相等；方程组有无穷多解。我们想要把这些解分分类。下面讨论一般的线性方程组的求解问题。首先讨论奇次的线性方程组的情况2020/1/295设有线性方程（它有如下三种表达方式）(4.1)000221122221211212111nnmmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa2020/1/296引进矩阵则齐次线性方程组可以写成(4.2)其中0代表m个分量都为零的列向量或列矩阵。nmmmnnaaaaaaaaaA212222111211nxxxx210Ax2020/1/297若把看作由列向量组成的矩阵，设则方程组可写成（4.3）A),,,(21nA0Ax02211nnxxx2020/1/298上面给出了齐次线性方程组的三种不同形式，它们表示同一个方程。可根据需要进行选择使用。2020/1/299齐次线性方程组永远有解，零解就是它的一个解。若为方程组的解，则称021nxxx1212111,,,nnxxx12111nx2020/1/2910为该方程组的解向量。以解向量的形式表示线性方程组的解更方便。2020/1/2911一、齐次线性方程组解的性质性质1如果都是齐次线性方程组的解向量，则也是该方程组的解向量。证因所以为的解向量。证毕。21,210)(2121AAA210Ax2020/1/2912性质2如果是齐次线性方程组的解向量，则也是该方程组的解向量，其中为任意常数。0Axkk证明：因满足方程从而即也是解向量。证毕。0A0)(kAkAk2020/1/2913叠加原理：设是齐次线性方程组的解，则也是该方程组的解（其中为任意常数）。记为齐次线性方程组的全体解的集合。由性质1和2知道可看成一个向量空间，称为齐次线性方程组的解空间。l,,,210Axllkkk2211lkkk,,,21SSS2020/1/2914二、齐次线性方程组的基础解系定义齐次线性方程组的解空间的一个基，称为此方程组的一个基础解系。由此可知，如果向量是齐次线性方程组的一个基础解系，则它一定要满足以下条件(有哪些？)0Axl,,,210Ax2020/1/29151)是方程组的线性无关解向量。2)方程组的任一个解均可由线性表示，即0Axl,,,21llkkkx2211l,,,212020/1/2916三、齐次线性方程组的求解如果能够找到方程组的一个基础解系，则它的任一个解都可以表示为其中为任意常数，称为方程组的通解。0Axl,,,21llkkk2211lkkk,,,21llkkkx22110Ax2020/1/2917也就是说，要求解方程组，只要知道其基础解系，所有的解，连同其构造，就一清二楚了。那么如何求出基础解系？2020/1/2918设方程组的系数矩阵为矩阵的秩，则。不妨假设矩阵前列线性无关。对矩阵进行初等行变换把它化为行最简形矩阵。0AxnmmmnnaaaaaaaaaA212222111211ArAr)(rmrn,ArA2020/1/29190000000000100010001,1,221,111rnrrrnrnbbbbbbB2020/1/2920此时齐次线性方程组与以为系数矩阵的齐次线性方程组（4.4）同解。任给一组值，则唯一确定的一组值，于是得到方程组(4.4)的一个解。0AxBnrnrrrrrrnrnrrnrnrrxbxbxbxxbxbxbxxbxbxbx,2211,22221212,12121111nrrxxx,,,21rxxx,,,212020/1/2921令取下列组数：由方程组(4.4)依次可得从而得到方程组(4.1)的个解向量。rnrrxxx,,,21rn100,,010,00121nrrxxxrnrrnrnrrrbbbbbbbbbxxx,,2,1222121211121,,,rn2020/1/2922下证构成方程组(4.1)的一个基础解系。（证明两点）rn,,,21100,,010,001,,2,1222122121111rnrrnrnrnrrbbbbbbbbb2020/1/29231)因为的后个分量组成的向量构成的向量组线性无关，从而可知线性无关。2)(要证线性表示)设为方程组(4.1)的任意一组解，记为，则rn,,,21rnrn,,,21nnxxx,,,22112020/1/2924考虑向量由解向量的性质1和2知，是的解。（注意如果到和相同，那就证明了线性表示）n21rnnrr22110Ax2020/1/2925rnnrr2211nrrrnrnrrrrrnnrrrnnrrbbbbbbbbb21,2211,2222211,11221112020/1/2926比较和知，它们的后个分量完全一样，由于它们都满足方程组（4.4)，从而推知与的前个分量也应该完全一样（为什么？），从而。这就证明了是解空间的一个基，即基础解系，因此有rnrrn,,,21rnSdim2020/1/2927定理1设元齐次线性方程组的系数矩阵的秩，则方程组的基础解系中含有个解向量，或者说它的解空间的维数为。n0AxnrAr)(rnrn综合上述分析，有如下定理：2020/1/2928说明（3点）：1）基础解系不是唯一的，如果齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，则它的任意个线性无关的解向量均构成一个基础解系。2）如果，方程组只有零解，故不存在基础解系。0AxrrnnAr)(0Ax2020/1/2929说明（3点）：3)如果是方程组的一个基础解系，则此方程组的任一个解均可以表示为其中为任意常数，称为方程组的通解。上面的证明提供了一个求基础解系的方法。rn,,,210Axrnrnkkkx2211lkkk,,,210Ax2020/1/2930四、用初等行变换求解齐次线性方程组只对系数矩阵进行初等行变换，不可以进行列初等变换(why)例1.求解方程组:解:对系数矩阵进行初等变换032030432143214321xxxxxxxxxxxx2020/1/29312100420011113211311111111312rrrrA0000210010114200210011112321322rrrrrr0000210010112)1(r行最简型2020/1/2932可见系数矩阵的秩是2，方程组的基础解系中含4-2=2个向量。原方程组与下列方程组同解:取作为自由未知量,得一般解为:02043421xxxxx42,xx434212xxxxx2020/1/2933取，则取，则分别得两个线性无关的特解:0,142xx0,131xx1,042xx2,131xx2020/1/2934此即原方程组的一个基础解系.所以通解为:(为任意实数)1201,0011212211kkx21,kk2020/1/2935例2.求解方程组:01117840246303542432143214321xxxxxxxxxxxx2020/1/2936解:对系数矩阵进行初等变换57001121354211178424633542A00005700112157001121570000007/51007/202100007/510011212020/1/2937可见系数矩阵的秩是2,方程组的基础解系中含2个向量.原方程组与下列方程组同解:取作为自由未知量,得一般解为:075072243421xxxxx42,xx4342175722xxxxx2020/1/2938取和即分别得两个线性无关的特解:此即原方程组的一个基础解系.所以通解为:(为任意实数)7,042xx7502,0012212211kkx21,kk0,142xx2020/1/2939例3.求解方程组(4个方程，5个未知数):036220230205421542154315432xxxxxxxxxxxxxxxx2020/1/2940解:对系数矩阵进行初等变换即36022230111210111110A3602223011111101210100000100000111002101025432431xxxxxxx2020/1/2941写成通解为为任意实数4354344334324310010011121xxxxxxxxxxxxxxx212154321,,0102200111kkkkxxxxx1k2k2020/1/2942例4.问取何值时，方程组有非零解，并求其通解。解:对系数矩阵进行初等变换0)3(14202)8(023)2(32