线性变换的几何实例

线性变换的几何实例由解析几何的坐标变换我们知道，在由直角坐标系XOY所确定的平面上，当一点A(x1,x2)变为另一点B(y1,y2)时，一定存在一个关系式使得如果令OA、OB分别表示两个向量：=(x1,x2)T，=(y1,y2)T，则一定存在矩阵A=(aij)，i,j=1,2，使得=A。22212122121111xaxayxaxay选取2维和3维几何空间中的具体例子进行分析，可以看到：(1)当平面上的一点P(1,2)变为另一点Q(4.2,11)时，存在关系式使得或者或者……25111126.0132.425.5101121.2102.4令=(1,2)T，=(4.2,11)T，则上式意味着存在矩阵，或者，或者……使得=A。如果将点P(1,2)和Q(4.2,11)分别看做是平面1和平面2上的点，将矩阵A的作用看做是平面1到平面2的一个映射法则，则=A可以看做是平面1到平面2的一个映射表达式，如图1(a)所示；516.03A5.501.20A但如果将平面1和平面2重叠，则可将点P(1,2)和Q(4.2,11)看做是同一个平面上的两个点，矩阵A的作用又可看做是平面到自身的一个映射法则，此时=A可以看做是平面到自身的一个映射表达式，如图1(b)所示。(a)(b)图1二维平面上的映射02402468100240246810PQAπ12π0240246810PQAπ(2)当空间V中的一点P(1,2,3)变为另一点Q(4,3,0)时，存在关系式使得或者或者……31201)3(031251)10(33)1(22134302010031251)10(33)1(22134令=(1,2,3)T，=(4,3,0)T，则上式意味着存在矩阵，或者，或者……使得=A。1031510123A0001510123A如果将点P(1,2,3)和Q(4,3,0)分别看做是两个空间V1和空间V2上的点，将矩阵A的作用看做是空间V1到空间V2的一个映射法则，则=A可以看做是空间V1到空间V2的一个映射表达式，如图2(a)所示；但如果将空间V1和空间V2重叠，则可将点P(1,2,3)和Q(4,3,0)看做是同一个空间V中的两个点，矩阵A的作用又可看做是空间V到自身的一个映射法则，此时=A可以看做是空间V到自身的一个映射表达式，如图2(b)所示。(a)图2三维空间上的映射02402401230240240123PQAVV12(b)图2三维空间上的映射012345012340123PQAV(3)进一步，当平面上的一个单位正方形OABC变为另一个正方形OABC时，(a)图3正方形的变换-101-1-0.500.511.52-101-1-0.500.511.52OOAABBCCAππ12'''令：1=OA=(0,1)T，2=OB=(1,1)T，3=OC=(1,0)T，1=OA=(,1/2)T，2=OB=(,)T，3=OC=(1/2,)T，则一定存在矩阵使得i=Ai，i=1,2,3。2/32/)13(2/)13(2/32/32/12/12/3)6/cos()6/sin()6/sin()6/cos(A如果将OABC和OABC分别看做是两个平面1和平面2上的正方形，将矩阵A的作用看做是平面1到平面2的一个映射法则，则i=Ai(i=1,2,3)可以看做是平面1到平面2的一个映射表达式，如图4(a)所示；但如果将平面1和平面2重叠，则可将OABC和OABC看做是同一个平面上的两个正方形，矩阵A的作用又可看做是平面到自身的一个映射法则，此时i=Ai(i=1,2,3)可以看做是平面到自身的一个映射表达式，如图4(b)所示。(b)图3正方形的变换-101-1-0.500.511.52OAABBCCπ'''因为2维或3维几何空间均为线性空间，所以，如果站在线性空间的角度来考察上述具体实例，则它们描述的都是从一个线性空间到另一个线性空间(或自身)的映射。那么这样的映射具有什么样的特性，以及应该采用什么工具来研究它们，这就是线性映射与线性变换的具体内容。例题设有矩阵ARnn，其中定义Rn到Rn的映射TA，使得xRn，TA(x)=AxRn则TA是线性Rn上的线性变换。),,,(21212222111211nnnnnnnaaaaaaaaaAnjjjjaaa21注记1由例题不难看出，其中矩阵A的作用相当于函数的对应法则。就像通过不同的对应法则可以定义不同的实函数一样，选取不同的矩阵A，可以定义不同的线性变换TA，即使其定义域与值域相同也是如此。例如，图4和图5描述的则分别是R2到R2以及R3到R3的各种不同的线性变换。图4线性空间R2到R2的几个线性变换-101-1012(a)x=[0110;0011]-101-1012(b)A1=[-10;01]-101-1012(c)A2=[1.50;01]-101-1012(d)A3=[10;00.2]-101-1012(e)A4=[10.5;01]-101-1012(f)A5=[cos(t)-sin(t);sin(t)cos(t)]OABCOABCOABCOABCOOAABBCC-101-1012(a)x=[0110;0011]-101-1012(b)A1=[-10;01]-101-1012(c)A2=[1.50;01]-101-1012(d)A3=[10;00.2]-101-1012(e)A4=[10.5;01]-101-1012(f)A5=[cos(t)-sin(t);sin(t)cos(t)]OABCOABCOABCOABCOOAABBCC图5线性空间R3到R3的线性变换-1012-1012-1012-1012-1012-1012-1012-1012-1012-1012-1012-1012OOOOAAAABBBBCCCC................-1012-1012-1012-1012-1012-1012-1012-1012-1012-1012-1012-1012OOOOAAAABBBBCCCC................-1012-1012-1012-1012-1012-1012-1012-1012-1012-1012-1012-1012OOOOAAAABBBBCCCC................-1012-1012-1012-1012-1012-1012-1012-1012-1012-1012-1012-1012OOOOAAAABBBBCCCC................谢谢