线性变换的矩阵表示

一、线性变换的矩阵表示式阶矩阵设n),,,,(21212222111211nnnnnnnaaaaaaaaaA为中的变换定义其中)(,21xTyRaaanniiii),(,)(RxAxxTn.为线性变换则T那么为单位坐标向量设,,,,21eeen,00112122221112111aaaaaaaaaeAnnnnnn,100212222111211nnnnnnnnaaaaaaaaaeA,),,2,1()(nieTeAiii即.)(,)(,为列向量应以那么矩阵有关系式如果一个线性变换因此eTAAxxTTi那么使如果一个线性变换反之),,,2,1()(,nieTTii)(xT]),,,[(21xeeeTn)(2211exexexTnn)()()(2211eTxeTxeTxnnxeTeTeTn))(,),(),((21xn),,,(21.Ax其中表示都可用关系式中任何线性变换,)()(,RxAxxTTRnn))(,),(),((21eTeTeTAn,212222111211aaaaaaaaannnnnn.,,,21为单位坐标向量eeen可知综上所述,,,,22112222112212211111nnnnnnnnnnaaaTaaaTaaaT二、线性变换在给定基下的矩阵定义１设是线性空间中的线性变换，在中取定一个基，如果这个基在变换下的象为nVnVn,,,21TT其中,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaAATnn,,,,,,2121上式,,,,,,,2121nnTTTT记可表示为那末，就称为线性变换在基下的矩阵．n,,,21AT.)(,),(,1唯一确定由基的象矩阵显然nTTA?,),,,(),,,(,,,,,,,,21212121需要满足什么条件呢变换那么下的象为在变换也就是说基的矩阵下在基是线性变换假设现在TATTTAnnnn有设,,1iniinxV)(T)(1iniixTniiiTx1)(xxxTTTnn2121))(,),(),((,),,,(2121xxxAnn.),,,(),,,(21212121xxxAxxxTnnnn即.,为矩阵的线性变换是以变换并且所确定的变换上式唯一地确定了一个ATT.由上式唯一确定为矩阵的线性变换以TA.,,TAATVn个线性变换也可唯一地确定一由一个矩阵确定一个矩阵可唯一地由线性变换中取定一个基后在.,一对应的线性变换与矩阵是一在给定一个基的条件下结论:),,,(),,,(21212121可知从关系式xxxAxxxTnnnn,,,,21下在基n;21xxxn的坐标为.)()(21xxxATTn的坐标为有因此按坐标表示,.)(AT.,1,,,,][4322313的矩阵求微分运算取基中在DpxpxpxpxP例1解,00000,10001,02002,00303432144321343212432121pppppDpppppDppppxpDppppxpD在这组基下的矩阵为所以D.0100002000030000A.,,][)(][],[,上的一个线性空间构成数与多项式的乘法它对于多项式的加法和组成的集合记作式包括零多项的所有一元多项式中次数小于记作合上所有一元多项式的集实数域RxRnxRxRRn例2.,][:][)(),())((,][微分变换这个变换也称为变换上的一个线性是则由导数性质可以证明定义变换中在线性空间xRxRxfxfdxdxfxRnnn则有的基为现取,,,,,1][12xxxxRnn,0)1(,1)(x,2)(2xx,下的矩阵为在基因此xxxn12,,,,1,0000100002000010nAxnxnn21)1()(即变换平面的线性表示将向量投影到中在,,3xOyTR例3,)(jyixkzjyixT.,,,)2(;,,,)1(的矩阵求取基为的矩阵求取基为TkjijiTkji解,0,,)1(kTjjTiiT.000010001),,(),,(kjikjiT即,,,)2(jiTjTiT.000110101),,(),,(T即此例表明：同一个线性变换在不同的基下一般有不同的矩阵．同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵，那么这些矩阵之间有什么关系呢？三、线性变换在不同基下的矩阵上面的例子表明,,,,;,,,2121nn定理１设线性空间中取定两个基nV由基到基的过渡矩阵为，中的线性变换在这两个基下的矩阵依次为和，那末n,,,21n,,,21nV.1APPBPTAB于是nnTB,,,,,,2121],,,[21PTnPTn,,,21证明Pnn,,,,,,2121,,,,,,,2121ATnnBTnn,,,,,,2121APn,,,21APPn121,,,因为线性无关，n,,,21所以.APPB1证毕.定理表明：与相似，且两个基之间的过渡矩阵就是相似变换矩阵．BAP例４.,,,1222211211212下的矩阵在基求下的矩阵为在基中的线性变换设TaaaaATV,0110),(),(2112解,0110P即,01101P求得下的矩阵为在基于是),(12T0110011022211211aaaaB.11122122aaaa011012112221aaaa).(,ARTTA的秩就是则的矩阵是若.,rnSTrTT的维数为的核则的秩为若.,)(的秩性变换称为线的维数的象空间线性变换定义2TVTTn.,,987654321,,3132321下的矩阵在基求下的矩阵为在基的线性变换维线性空间已知AV例5解由条件知987654321),,(),,(321321321332123211963)(852)(74)(即下的矩阵为在基因此132,,74)(396)(285)(132113231322从而有.174396285B给定了线性空间的一组基以后，中的线性变换与中的矩阵形成一一对应．因此，在线性代数中，可以用矩阵来研究变换，也可以用变换来研究矩阵．nRnRnnR同一变换在不同基下的矩阵是相似的．四、小结的两个线性变换已知22R22,,RXMXXSXNXT1111,0201NM.,,,22211211下的矩阵在基试求EEEEST思考题思考题解答))((11EST解)()(1111ESETEMNE111100010201111100010212,22211211EEE同理可得,22001))((2211121212EEEMNEEST,1100))((2221212121EEEMNEEST,1100))((2221222222EEEMNEEST组基下的矩阵为在这所以ST.1120110200010012