材料力学第八章组合变形的计算

材料力学第1页/共57页第八章组合变形及连接部分的计算§8-1概述§8-2两个相互垂直平面内的弯曲§8-3拉伸（压缩）与弯曲的组合变形§8-4扭转和弯曲的组合变形§8-5连接件的实用计算法§8-6铆钉和螺栓连接的计算材料力学第2页/共57页§8-1概述构件在荷载的作用下如发生两种或两种以上基本形式的变形，且几种变形所对应的应力（和变形）属于同一数量级，则构件的变形称为组合变形。Ⅰ.组合变形烟囱（图a）有侧向荷载（风荷，地震力）时发生压弯组合变形。第八章组合变形及连接部分的计算材料力学第3页/共57页齿轮传动轴（图b）发生弯曲与扭转组合变形（两个相互垂直平面内的弯曲加扭转）。第八章组合变形及连接部分的计算吊车立柱（图c）受偏心压缩，发生压弯组合变形。材料力学第4页/共57页两个平面内的弯曲(图d)由于计算构件横截面上应力及横截面位移时，需要把两个平面弯曲的效应加以组合，故归于组合变形。第八章组合变形及连接部分的计算(d)材料力学第5页/共57页对于组合变形下的构件，在线性弹性范围内且小变形的条件下，可应用叠加原理将各基本形式变形下的内力、应力或位移进行叠加。在具体计算中，究竟先按内力叠加（按矢量法则叠加）再计算应力和位移，还是先计算各基本形式变形下的应力或位移然后叠加，须视情况而定。材料力学第6页/共57页Ⅱ.连接件的实用计算螺栓连接（图a）中，螺栓主要受剪切及挤压（局部压缩）。第八章组合变形及连接部分的计算连接件（螺栓、铆钉、键等）以及构件在与它们连接处实际变形情况复杂。F材料力学第7页/共57页键连接（图b）中，键主要受剪切及挤压。第八章组合变形及连接部分的计算材料力学第8页/共57页第八章组合变形及连接部分的计算工程计算中常按连接件和构件在连接处可能产生的破坏情况，作一些简化的计算假设（例如认为螺栓和铆钉的受剪面上切应力均匀分布）得出名义应力，然后与根据在相同或类似变形情况下的破坏试验结果所确定的相应许用应力比较，从而进行强度计算。这就是所谓工程实用计算法。材料力学第9页/共57页§8-2双对称截面梁在两个相互垂直平面内的弯曲具有双对称截面的梁，它在任何一个纵向对称面内弯曲时均为平面弯曲。第八章组合变形及连接部分的计算故具有双对称截面的梁在两个纵向对称面内同时承受横向外力作用时，在线性弹性且小变形情况下，可以分别按平面弯曲计算每一弯曲情况下横截面上的应力和位移，然后叠加。材料力学第10页/共57页第八章组合变形及连接部分的计算图示悬臂梁x截面上的弯矩和任意点C处的正应力：由于水平外力F1由于竖直外力F2zIMyyyIMzz弯曲正应力弯矩My(x)=F1xMz(x)=F2(x-a)材料力学第11页/共57页这里弯矩的正负号系根据图b所示，由右手螺旋法则按它们的矢量其指向是否与y轴和z轴的指向一致来确定的。在F1和F2共同作用下x截面上C点处的正应力为yIMzIMzzyy''第八章组合变形及连接部分的计算材料力学第12页/共57页利用上式固然可求算x截面上任意点处的弯曲正应力，但对于图中所示那类横截面没有外棱角的梁，由于My单独作用下最大正应力的作用点和Mz单独作用下最大正应力的作用点不相重合，所以还不好判定在My和Mz共同作用下最大正应力的作用点及其值。第八章组合变形及连接部分的计算材料力学第13页/共57页注意到在F1作用下x截面绕中性轴y转动，在F2作用下x截面绕中性轴z转动,可见在F1和F2共同作用下，x截面必定绕通过y轴与z轴交点的另一个轴转动，这个轴就是梁在两个相互垂直平面内同时弯曲时的中性轴，其上坐标为y，z的任意点处弯曲正应力为零。第八章组合变形及连接部分的计算材料力学第14页/共57页故有中性轴的方程：000yIMzIMzzyy中性轴与y轴的夹角q（图a）为qtantan00zyzyyzIIIIMMyz第八章组合变形及连接部分的计算其中角为合成弯矩与y的夹角。22zyMMM材料力学第15页/共57页第八章组合变形及连接部分的计算这就表明，只要Iy≠Iz，中性轴的方向就不与合成弯矩M的矢量重合，亦即合成弯矩M所在的纵向面不与中性轴垂直，或者说，梁的弯曲方向不与合成弯矩M所在的纵向面重合。正因为这样，通常把这类弯曲称为斜弯曲。qtantanzyII材料力学第16页/共57页确定中性轴的方向后，作平行于中性轴的两直线，分别与横截面的周边相切，这两个切点（图a中的点D1，D2）就是该截面上拉应力和压应力为最大的点。从而可分别计算水平和竖直平面内弯曲时这两点的应力，然后叠加。第八章组合变形及连接部分的计算材料力学第17页/共57页§8－3拉伸(压缩)与弯曲的组合变形Ⅰ.横向力与轴向力共同作用图a为由两根槽钢组成的杆件，受横向力F和轴向力Ft作用时的计算简图，该杆件发生弯曲与拉伸的组合变形。第八章组合变形及连接部分的计算材料力学第18页/共57页轴向拉力会因杆件有弯曲变形而产生附加弯矩，但它与横向力产生的弯矩总是相反的，故在工程计算中对于弯一拉组合变形的构件可不计轴向拉力产生的弯矩而偏于安全地应用叠加原理来计算杆中的应力。第八章组合变形及连接部分的计算材料力学第19页/共57页至于发生弯曲与压缩组合变形的杆件，轴向压力引起的附加弯矩与横向力产生的弯矩为同向，故只有杆的弯曲刚度相当大（大刚度杆）且在线弹性范围内工作时才可应用叠加原理。第八章组合变形及连接部分的计算材料力学第20页/共57页图a所示发生弯一拉组合变形的杆件，跨中截面为危险截面，其上的内力为FN=Ft，。该横截面上与轴力FN对应的拉伸正应力t为均匀分布(图b)，，而与最大弯矩Mmax对应的弯曲正应力在上、下边缘处(图c)，其绝对值FlM41maxAFAFtNt第八章组合变形及连接部分的计算WFlWM4maxb。材料力学第21页/共57页在FN和Mmax共同作用下，危险截面上正应力沿高度的变化随b和t的值的相对大小可能有图d,e,f三种情况。危险截面上的最大正应力是拉应力：WFlAF4tmax,t注意到危险截面最大拉应力作用点（危险点）处为单向应力状态，故可把t,max直接与材料的许用正应力进行比较来建立强度条件。第八章组合变形及连接部分的计算材料力学第22页/共57页Ⅱ.偏心拉伸(压缩)偏心拉伸或偏心压缩是指外力的作用线与直杆的轴线平行但不重合的情况。第八章组合变形及连接部分的计算材料力学第23页/共57页§8-4扭转和弯曲的组合变形机械中的许多构件在工作时往往发生扭转与弯曲的组合变形，而且它们多半是实心或空心圆截面杆，图中所示传动轴便是一种典型的情况。第八章组合变形及连接部分的计算材料力学第24页/共57页本节讲述圆截面杆发生扭－弯组合变形时的强度计算。图a所示由塑性材料制造的曲拐在铅垂外力作用下，其AB杆的受力图如图b所示。该杆为直径为d的圆截面杆。第八章组合变形及连接部分的计算材料力学第25页/共57页图c，d示出了AB杆的弯矩图（M图）和扭矩图（T图）。由于扭－弯组合变形情况下不考虑剪力对强度的影响，故未示出剪力图（FS图）。该AB杆的危险截面为固定端处的A截面。第八章组合变形及连接部分的计算材料力学第26页/共57页危险截面上弯曲正应力在与中性轴C3C4垂直方向的变化如图e，扭转切应力沿直径C3C4和C1C2的变化如图f。第八章组合变形及连接部分的计算由此可知危险截面上的危险点为C1和C2。由于杆的材料是拉压许用应力相等的塑性材料，C1和C2两点的危险程度相同，故只需对其中的一个点作强度计算即可。材料力学第27页/共57页围绕点C1以杆的横截面、径向纵截面和切向纵截面取出单元体，其各面上的应力如图g所示，而32/π3dFlWM第八章组合变形及连接部分的计算16/π23pdFaWTWT材料力学第28页/共57页点C1处于平面应力状态，其三个主应力为0,421222231按第三强度理论作强度计算，相当应力为22313r4(a)按第四强度理论作强度计算，相当应力为222132322214r3])()()[(21(b)第八章组合变形及连接部分的计算][3r强度条件为][4r或材料力学第29页/共57页注意到发生扭－弯变形的圆截面杆，其危险截面上危险点处：WMWTWT2p为便于工程应用，将上式代入式（a），（b）可得：WTMWTWM22223r24第八章组合变形及连接部分的计算WTMWTWM22224r75.023式中，M和T分别为危险截面上的弯矩和扭矩，W为圆截面的弯曲截面系数。材料力学第30页/共57页需要注意的是，以上所述对于传动轴的强度计算是静力强度计算，只能用于传动轴的初步设计，此时[]的值取得也比较低。事实上，传动轴由于转动，危险截面任何一点处的弯曲正应力是随轴的转动交替变化的。这种应力称为交变应力（alternatingstress），工程设计中对于在交变应力下工作的构件另有计算准则。第八章组合变形及连接部分的计算材料力学第31页/共57页例题8－5图a所示钢制实心圆轴其两个齿轮上作用有切向力和径向力，齿轮C的节圆（齿轮上传递切向力的点构成的圆）直径dC=400mm,齿轮D的节圆直径dD=200mm。已知许用应力[]=100MPa。试按第四强度理论求轴的直径。第八章组合变形及连接部分的计算材料力学第32页/共57页1.作该传动轴的受力图（图b），并作弯矩图－Mz图和My图（图c,d）及扭矩图－－T图（图e）。解：第八章组合变形及连接部分的计算yz材料力学第33页/共57页2.由于圆截面的任何形心轴均为形心主惯性轴，且惯性矩相同，故可将同一截面上的弯矩Mz和My按矢量相加。mN1064)mN1000()mN364(2222zByBBMMM第八章组合变形及连接部分的计算例如，B截面上的弯矩MzB和MyB（图f）按矢量相加所得的总弯矩MB（图g）为：材料力学第34页/共57页由Mz图和My图可知，B截面上的总弯矩最大，并且由扭矩图可见B截面上的扭矩与CD段其它横截面上相同，TB＝-1000N·m，于是判定横截面B为危险截面。第八章组合变形及连接部分的计算材料力学第35页/共57页3.根据MB和TB按第四强度理论建立的强度条件为][75.0224rWTM第八章组合变形及连接部分的计算Pa10100)mN1000(75.0)mN1064(622W即Pa1010032/πmN137263d亦即mm9.51m0519.0)Pa10100(πmN13723236d于是得材料力学第36页/共57页§8-5连接件的实用计算法图a所示螺栓连接主要有三种可能的破坏：Ⅰ.螺栓被剪断（参见图b和图c）；Ⅱ.螺栓和钢板因在接触面上受压而发生挤压破坏（螺栓被压扁，钢板在螺栓孔处被压皱）（图d）；Ⅲ.钢板在螺栓孔削弱的截面处全面发生塑性变形。第八章组合变形及连接部分的计算实用计算法便是针对这些可能的破坏作近似计算的。材料力学第37页/共57页(1)剪切的实用计算在实用计算中，认为连接件的剪切面（图b，c）上各点处切应力相等，即剪切面上的名义切应力为sSAF式中，FS为剪切面上的剪力，As为剪切面的面积。][sSAF其中的许用应力则是通过同一材料的试件在类似变形情况下的试验（称为直接试验）测得的破坏剪力也按名义切应力公式算得极限切应力除以安全因数确定。第八章组合变形及连接部分的计算强度条件材料力学第38页/共57页(2)挤压的实用计算在实用计算中，连接件与被连接件之间的挤压应力（bearingstress）是按某些假定进行计算的。第八章组合变形及连接部分的计算对于螺栓连接和铆钉连接，挤压面是半个圆柱形面（图b），挤压面上挤压应力沿半圆周的变化如图c所示，而最大挤压应力bs的值大致等于把挤压力Fbs除以实际挤压面（接触面）在直径面上的