2014届 高三理科一轮复习资料第三章3.4简单的三角恒等变换

3．4简单的三角恒等变换考纲点击能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).说基础课前预习读教材考点梳理1.降幂公式sin2α2＝①__________(用cosα表示)cos2α2＝②__________(用cosα表示)tan2α2＝③__________(用cosα表示)2．半角公式sinα2＝±1－cosα2cosα2＝±1＋cosα2tanα2＝±1－cosα1＋cosα＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα其符号由α2所在的象限决定．3．积化和差公式sinαcosβ＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]cosαsinβ＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]cosαcosβ＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]sinαsinβ＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]4．和差化积公式sinθ＋sinφ＝2sinθ＋φ2cosθ－φ2sinθ－sinφ＝2cosθ＋φ2sinθ－φ2cosθ＋cosφ＝2cosθ＋φ2cosθ－φ2cosθ－cosφ＝－2sinθ＋φ2sinθ－φ2答案：①1－cosα2②1＋cosα2③1－cosα1＋cosα考点自测1.2－sin22＋cos4等于()A．sin2B．－cos2C.3cos2D．－3cos2解析：2－sin22＋cos4＝2－sin22＋2cos22－1＝3cos22＝－3cos2.答案：D2．若sinα＝cosβ，－π2＜α＜π2，0＜β＜π，则α＋β的值为()A.3π2B．πC.π2D．0解析：由sinα＝cosβ，∴sinα＝sinπ2－β.∵－π2＜α＜π2，0＜β＜π，∴－π2＜π2－β＜π2，∴α＝π2－β，∴α＋β＝π2.答案：C3．设p＝cosαcosβ，q＝cos2α＋β2，那么p，q的大小关系是()A．p＜qB．p＞qC．p≤qD．p≥q解析：p－q＝cosαcosβ－cos2α＋β2＝cosαcosβ－12[1＋cos(α＋β)]＝12(cosαcosβ＋sinαsinβ－1)＝12[cos(α－β)－1]≤0，∴p≤q.∴选C.答案：C4．求值：sin50°(1＋3tan10°)＝__________.解析：原式＝2sin50°×12＋3sin10°2cos10°＝2sin50°×cos60°cos10°＋sin60°sin10°cos10°＝2sin50°cos50°cos10°＝sin100°cos10°＝1.答案：15．设0≤x＜2π，且1－sin2x＝sinx－cosx，则x的取值范围是__________．解析：1－sin2x＝sinx－cosx2＝|sinx－cosx|.由题设，得|sinx－cosx|＝sinx－cosx.∴sinx－cosx≥0，∴sinx≥cosx.∵0≤x＜2π，∴π4≤x≤5π4.答案：π4，5π4说考点拓展延伸串知识疑点清源1.三角恒等变换的两个原则(1)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式．(2)清除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异．注意：要正确把握公式的结构，明确变形方向，才能准确地应用公式，达到求解目的．2．三角函数式的化简(1)化简的要求①能求出值的应求出值；②尽量使三角函数种数最少；③尽量使项数最少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数．(2)化简的思路对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切割化弦、变量代换、角度归一等方法．(3)化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂或升幂等.题型探究题型一三角式的化简例1(1)已知f(α)＝2tanα－2sin2α2－1sinα2cosα2，求fπ12；(2)已知tan2θ＝－22，π＜2θ＜2π，求2cos2θ2－sinθ－12sinθ＋π4的值．解析：(1)f(α)＝2tanα－－cosα12sinα＝2sinαcosα＋2cosαsinα＝4sin2α，∴fπ12＝4sinπ6＝8.(2)原式＝cosθ－sinθsinθ＋cosθ＝1－tanθ1＋tanθ，又tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝－22.解得tanθ＝－12或tanθ＝2.∵π＜2θ＜2π，∴π2＜θ＜π，∴tanθ＝－12，故原式＝1＋121－12＝3＋22.点评：要先化简再求值，将所给关系式尽可能化成最简式或化成含有已知式子的形式，运用整体代入的方法求值．变式探究1已知函数f(θ)＝－12＋sin52θ2sinθ2(0＜θ＜π)．(1)将f(θ)表示成关于cosθ的多项式；(2)若a∈R，试求使曲线y＝acosθ＋a与曲线y＝f(θ)至少有一个交点时a的取值范围．解析：(1)f(θ)＝－12＋sin2θcosθ2＋cos2θsinθ22sinθ2＝－12＋4cos2θ2cosθsinθ2＋cos2θsinθ22sinθ2＝－12＋4cos2θ2cosθ＋cos2θ2＝－12＋4cosθ·1＋cosθ2＋2cos2θ－12＝2cos2θ＋cosθ－1.(2)由2cos2θ＋cosθ－1＝acosθ＋a，得(cosθ＋1)(2cosθ－1)＝a(cosθ＋1)．∴cosθ＝a＋12，∴－1＜a＋12＜1，即－3＜a＜1.题型二三角函数的求值例2已知0＜α＜π2，0＜β＜π2，且3sinβ＝sin(2α＋β)，4tanα2＝1－tan2α2，求α＋β的值．解析：∵4tanα2＝1－tan2α2，且1－tan2α2≠0.∴tanα＝2tanα21－tan2α2＝12.又∵3sinβ＝sin(2α＋β)，∴3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，即3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα.∴2sin(α＋β)cosα＝4cos(α＋β)sinα.又∵cos(α＋β)sinα≠0，∴2sinα＋βcosαcosα＋βsinα＝4，即tanα＋βtanα＝2，∴tan(α＋β)＝2tanα＝1.又∵0＜α＜π2，0＜β＜π2，∴0＜α＋β＜π，由①②得α＋β＝π4.点评：由α2的关系式可求出α的正切值，再据已知条件构造出α＋β，从而可求出α＋β的一个三角函数值．变式探究2已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，(1)求tan2α的值；(2)求β.解析：(1)由cosα＝17，0＜α＜π2，得sinα＝1－cos2α＝1－172＝437，∴tanα＝sinαcosα＝437×71＝43.于是tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×431－432＝－8347.(2)由0＜β＜α＜π2，得0＜α－β＜π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝1－13142＝3314.由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.所以β＝π3.题型三三角变换的应用例3设函数f(x)＝cos2x＋π3＋sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB＝13，fC2＝－14，且C为锐角，求sinA.解析：(1)f(x)＝cos2xcosπ3－sin2xsinπ3＋1－cos2x2＝12cos2x－32sin2x＋12－12cos2x＝12－32sin2x.所以，当2x＝－π2＋2kπ，即x＝－π4＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，f(x)max＝1＋32，f(x)的最小正周期T＝2π2＝π，故函数f(x)的最大值为1＋32，最小正周期为π.(2)由fC2＝－14，即12－32sinC＝－14，解得sinC＝32，又C为锐角，所以C＝π3.由cosB＝13求得sinB＝223.因此sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝223×12＋13×32＝22＋36.点评：高考对三角恒等变换的考查一般与三角函数的图象与性质相结合，有时也会在三角形中综合考查三角恒等变换，考查学生运算求解能力．变式探究3已知函数f(x)＝2cosxsinx＋π3－3sin2x＋sinxcosx.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的最大值及最小值；(3)写出函数f(x)的单调递增区间；(4)证明f(x)在－π3，π12上递增．解析：f(x)＝2cosxsinx·12＋cosx·32－32(1－cos2x)＋12sin2x＝sin2x＋3cos2x－32＋32cos2x＝sin2x＋32＋32cos2x－32＋32cos2x＝sin2x＋3cos2x＝2sin2x＋π3.∴(1)T＝π.(2)f(x)max＝2，f(x)min＝－2.(3)令2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2，得kπ－5π12≤x≤kπ＋π12，k∈Z.∴y＝f(x)的单调递增区间为kπ－5π12，kπ＋π12，k∈Z.(4)令k＝0，可得y＝f(x)的一个单调增区间为－5π12，π12.又因为－π3，π12－5π12，π12，∴y＝f(x)在－π3，π12上单调递增.归纳总结•方法与技巧1．三角函数式的化简(1)三角函数式的化简原则一是统一角，二是统一函数名．能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分．(2)三角函数式化简的要求．①能求出值的应求出值；②尽量使三角函数种数最少；③尽量使项数最少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数．(3)三角函数化简的方法主要是弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．2．三角函数式的求值已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：(1)先化简所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．•失误与防范1．实施简单的三角恒等变换首先要准确记忆相关的三角公式．由于本章三角公式多，记错、记混三角公式是屡见不鲜的．2．凡是涉及“开平方”的问题，必须注意符号的选取，而符号的选取最终取决于角的范围．如果不能确定，则要进行分类讨论，防止丢解.新题速递1.(2012·江西卷)若sinα＋cosαsinα－cosα＝12，则tan2α＝()A．－34B.34C．－43D.43解析：由sinα＋cosαsinα－cosα＝12，得tanα＋1tanα－1＝12即2tanα＋2＝tanα－1，∴tanα＝－3，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×－31－－32＝－6－8＝34.答案：B2．(2012·广东卷)已知函数f(x)＝Acosx4＋π6，x∈R，且fπ3＝2.(1)求A的值；(2)设α，β∈0，π2，f4α＋43π＝－3017，f4β－23π＝85，求cos(α＋β)的值．解析：(1)fπ3＝Acosπ12＋π6＝Acosπ4＝22A＝2，解得A＝2.(2)f4α＋43π＝2cosα＋π3＋π6＝2cosα＋π2＝－2sinα＝－3017，即sinα＝1517，f4β－23π＝2cosβ－π6＋π6＝2cosβ＝85，即cosβ＝45.∵α，β∈