3 16.1_最简二次根式

第16章二次根式16.2最简二次根式二次根式的性质).0;0();0;0();0(),0(||);0()(22bababababaabaaaaaaaaa(1)(2)(3)(4)复习3218观察下列二次根式及其化简所得结果,比较被开方数发生了什么变化?3a33a2(0)9bba(0)3bbaa被开方数不含开得尽方的因数被开方数不含分母被开方数满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．（２）被开方数不含分母．如：214xy226()mab214xy226mab√4xy√6abm324x3323x26(0)xxx（１）被开方数各因式的指数都为1．5(1)3a例１．判断下列二次根式是不是最简二次根式解(1)因为被开方数含分母３，53a所以不是最简二次根式．53a(2)42a(2)因为被开方数分解：42237aa所以是最简二次根式．42a2(3)3(21)aa注:被开方数比较复杂时，应先进行因式分解再观察32(4)2550mm例2.将下列二次根式化成最简二次根式.32(1)4(0)xyy用它的正平方根代替后移到根号外面.＆将被开方数中解:由和3240xy0y得x≥0原式=2222xxy2xyx解原式22(2)()()(0)ababab＆把被开方数(或式)化成积的形式，即分解因式()()()ababab2()()abab()(0)ababab(3)(0)mnmnmn＆将被开方数中的分母化去解原式=()()()()mnmnmnmn222()mnmn222()mnmn22(0)mnmnmn化简二次根式的步骤:1.把被开方数分解因式(或因数)；2.将被开方数中开得尽方的因数(式)用它的正平方根代替后移到根号外面.3.将被开方数中的分母化去1429292923222244.被开方数是带分数或小数时要化成假分数.判断下列各式是否为最简二次根式？12ba245952mmx3021143xyx2422525mm（5）（）；（2）（）；（3）（）；（4）（）；（1）（）；（6）（）；（7）（）；√×××××√辨析训练一被开方数是多项式的要先分解因式再进行观察判断．)9(2522mm练习1.将下列二次根式化成最简二次根式.24334225(1)(0)(2)7147(1)241(3)()(4)2nmmxxxmxyxyxyxyayxxyya(0xy)练习2、把下列各式化成最简二次根式：（1）；（2）3xyx2114解（1）21143x0,y0yxx23432422264623yxxxx2xxyxxxy（2）把下列各式化成最简二次根式：（1）（2）（3）（4）8.02142200,0,0ababcc23108xxx练习31992324222222225204525abcababcabcccccc2223321122288244xxxxxxxxxx445250.855551.最简二次根式的概念.满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式。（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（2）被开方数不含分母。2.如何化二次根式为最简二次根式.（1）把被开方数分解因式(或因数)；（2）将被开方数中开得尽方的因数(式)用它的正平方根代替后移到根号外面.（3）将被开方数中的分母化去1、化简下列各式：);0(250)1(3bba)31(961)2(2xxx3113)3(22xxxaba105)1(13)2(x2)3(()1aB．1aC．D．0aA．的取值范围是那么，、如果aaaaa1223D01a31.3xx化简21xxx错解：原式xxxxxxxxxx)(112分析：本题重点考察的应用，这里关键是确定x的符号，而中隐含了-x3≥0,即x≤0,此时。xx23xxx2由-x3≥0,得x≤0,21xxx原式xxxx1正解：又x为分母不为0，∴x＜04、若ab，则化简的结果为（）2()abA.a+bB.a-bC.-a-bD.-a+bD3、实数在数轴上的位置如图所示,化简:22(1)(2)_______.pp1p5、实数在数轴上的位置如图所示,化简:p-1210p6、已知三角形的三边长分别是a、b、c，且，那么等于（）A、2a-bB、2c-bC、b-2aD、b-2cca2)(bcaacD的值时，求当aaaa11221..7221111)12aaaaaaa（错解：原式aaaaaaaaa11)1(,01212时，有注意到当分析：上述做法中，没21321-421,211110121111)12时，原式当即，（原式aaaaaaaaaaaaaaaaaa正解：8.若,则化简=.0ab23ba9.若代数式的值是常数2,则a的取值范围是()A.B.C.D.22)4()2(aa2a2a42a42aa或abaC二次根式化简1．被开方数是非完全平方数的二次根式化简例1化简48．分析：因为，48=16×3=42×3，所以，根据公式ab=ab(a≥0，b≥0)，就可以把积的是完全平方数或平方式的部分从二次根号下开出来，从而实现化简的目的．解：48＝16×3＝16×3＝42×3＝43．2．被开方数是分数的二次根式化简例2化简1125．分析：因为，125=5×5×5=52×5，所以，只需分子、分母同乘以5就可以了．解法一：1125＝1×553×5＝525．3．被开方数是小数的二次根式化简例3化简1.5．分析：被开方数是小数时，常把小数化成相应的分数，然后进行求解．解：1.5＝32＝3×22×2＝622＝62．4．被开方数是幂的二次根式的化简例4化简(x＋y)3（x＋y≥0）．分析：当幂的指数是奇数时，保持底数不变，设法把幂化成是一个偶数次幂和一个奇数次幂的积．解：当x＋y≥0时，(x＋y)3＝(x＋y)2(x＋y)＝(x＋y)2·x＋y＝(x＋y)x＋y．5．被开方数有隐含条件的二次根式化简例5化简a－1a的结果是：．分析：含字母的化简，通常要知道字母的符号,而字母的符号又常借被开方数的非负性而隐藏．因此，化简时要从被开方数入手．5．被开方数是隐含条件的二次根式化简例5化简a－1a的结果是：．解：∵a－1a有意义，∴－1a≥0，∴－a＞0．∴a－1a＝a1(－a)＝a(－a)(－a)(－a)＝a－a(－a)2＝a－a－a＝a－a－a＝－－a．二次根式化简的常见错误化简14＋19．错解：14＋19=(12)2＋(13)2=14＋19．正解：14＋19=1336=1336=136．二次根式化简的常见错误abba(a＞0，b＞0)．错解：abba＝1．正解：abba＝ababa2＝aabab＝abb．二次根式化简的常见错误化简25a3b3(a＜0)．错解：25a3b3＝52a2b2·ab＝5·(－a)·b·ab＝－5abab．正解：∵25a3b3≥0，a＜0，∴b≤0，∴ab≥0．25a3b3＝52a2b2·ab＝52·a2b2·ab＝5abab．