3 二维连续型随机变量及其概率密度

2§3二维连续型随机变量及其概率密度一、二维连续型随机变量（）的联合分布vrc..则称为二维连续型随机变量，称为二维连续型随机变量的联合概率密度或概率密度．),(YX),(yxf),(YX与一维随机变量类似，对于二维随机变量,若存在定义域为整个平面上的非负函数,使的分布函数可表为：（3.1）),(YXxoy),(yxfxydvduvufyxF),(),(),(YX3按定义，概率密度具有以下性质(3)设是平面上的区域，点落在内的概率为Gxoy),(YXGGdxdyyxfGYXP),(}),{((4)若在点连续，则有),(yxf),(yx2(,)(,)Fxyfxyxy(,)0fxy(1)1),(),(Fdxdyyxf(2)4由性质（4）和（1.1），如图3-3，在的连续点处有),(yxfyxyyYyxxXxPyx},{lim00)],(),(),(),([1lim00yxFyyxFyxxFyyxxFyxyx),(),(2yxfyxyxF5这表示若在点连续，则当很小时,即落在小长方形内的概率近似地等于),(yxf),(yxyx,yxyxfyyYyxxXxP),(},{(,)XY],(],(yyyxxxyxyxf),(几何上表示空间的一个曲面．由性质（2）知，介于它和平面的空间区域的体积为1．由性质（3），的值等于以为底，以为顶面的曲顶柱体体积．（如图3-4）),(yxfzxoy}),{(GYXPG(,)zfxy6例1若二维随机变量具有概率密度),(YX1,(,)0,DSfxy,),(其它Dyx其中为区域的面积，则称服从区域上的均匀分布．特别地，设在以圆点为中心、为半径的圆域上服从均匀分布，求二维联合概率密度.DSD),(YXD),(YXrR解：8例2设二维随机变量具有概率密度(1)求分布函数(2)求概率.),(YX(2)2,0,0(,),0,xyexyfxy其它解：10例3二维随机变量的联合密度为求(1)系数;(2)随机变量落在圆内的概率),(YX.0),(),(22222222时当时当，，RyxRyxyxRcyxfc),(YX222ayx(0)aR解：12二、二维连续型随机变量的边缘分布与二维离散型随机变量类似，在等式中，令得连续型随机变量的边缘分布函数(,)(,)xyfxyfuvdvduyX由此得随机变量的边缘概率密度函数(3.2)xXdudvvufxFxF),(),()(X()()(,)XXdfxFxfxydydx同理可得随机变量的边缘分布函数（3.3）Y()(,)(,)yYFyFydyfxydxY()()(,)YYdfxFyfxydxdy的边缘概率密度函数（3.4）13例4设二维随机变量在以圆点为中心、为半径的圆域上服从均匀分布，求及的边缘概率密度.),(YXrRXY解：15例5设二维随机变量的概率密度函数为求边缘概率密度.),(YX4.8(2),01,0(,),0,yxxyxfxy其它解：17其中，其中都是常数，且.我们称为服从参数为的二维正态分布（这五个参数的意义将在下一章说明），记为试求二维正态随机变量的边缘概率密度.),(YX),()())((2)()1(21exp121),(2222212121212221yxyyxxyxf)()}(exp{xfexf,,,,212111,0,021),(YX,,,,2121221212(,)(,,,,).XYN例6设二维随机变量的联合概率密度为解：20我们看到二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布，并且都不依赖于参数，亦即对于给定的不同的对应不同的二维正态分布，它们的边缘分布却都是一样的.这一事实表明，仅由关于和关于的边缘分布，一般来说是不能确定随机变量和的联合分布的.,,,,2121XYXY21三、二维连续型随机变量的条件分布设为二维连续型随机变量的概率密度为如何规定这分布在条件下的概率分布呢？由于这时服从连续型分布，因此不能直接利用乘法公式来定义条件分布.),(YX),(YX),,(yxf}{yYXY,0}{yYP对二维离散型随机变量,设,在随机变量取得可能值的条件下，随机变量取它的任一可能值的条件概率由上述随机事件的条件概率公式可得：),(YX0}{jjyYPpYjyXix,2,1},{iyYxXPjijijjjijippyYPyYxXPyYxXP)(),(}{1,2,i，22这就启发我们，对于二维连续型分布，规定在条件下的条件分布为如下连续型分布：}{yYX定义设二维连续型随机变量的概率密度为关于的边缘密度为.若对于固定的，则称为在的条件下的条件概率密度，记为(3.5)称为在的条件下的条件分布函数，),(YX),,(yxf),(YXY)(yfYy()0Yfy)(),(yfyxfYyYX(,)()()XYYfxyfxyfydxyfyxfdxyxfxYxYX)(),()(yYX23记为或}{yYxXP)(yxFYX(,)(){}()xXYYfxyFxyPXxYydxfy即(,)()0()XYYfxyfxyfy显然，条件概率密度满足条件：（1）(,)1()(,)1()()XYYYfxyfxydxdxfxydxfyfy（2）24类似地，规定在条件下的条件分布为一个连续型分布，它的概率密度函数和分布函数分别为}{xXY(,)()()yYXXfxyFyxdyfx)(xfX),(YXX这里为关于的边缘密度.(,)()()YXXfxyfyxfx(3.6)25例7随机变量在矩形域服从均匀分布，求及的条件概率密度.),(YXdycbxa,XY解：27例8设二维随机变量在以圆点为中心、为半径的圆域上服从均匀分布，分别求关于及的条件概率密度.),(YXrRXY解：30四、二维连续型随机变量的相互独立性定义：设及，分别是二维随机变量的联合分布函数和边缘分布函数.若对所有的有即（3.7）则称随机变量是相互独立的.),(yxF)(xFX)(yFY),(YXyx,}{}{},{yYPxXPyYxXP(,)()()XYFxyFxFy上面（3.7）式两边分别对和各微分一次，即得（3.8）从而，随机变量是相互独立的充分必要条件为（3.8）几乎处处成立.此处“几乎处处成立”的含义是：在平面上除去“面积”为零的集合外处处成立.xy(,)()()XYfxyfxfy31例9设二维随机变量在上服从均匀分布，问与是否相互独立？),(YX222ryxXY例10设二维随机变量具有概率密度问随机变量和是否相互独立的？),(YX(2)2,00(,)0,xyexyfxy其它、解：解：34例11二维正态随机变量的概率密度为求证相互独立等价于.),(YX),(,121),(2222212121212)())((2)()1(21221yxeyxfyyxxXY、0解：38二维正态随机变量，和相互独立充分必要条件为.),(YXXY0我们指出，如果随机变量相互独立，则任一变量的条件概率密度等于其边缘概率密度.事实上，这时我们有XY、()()(,)()()()()XYXYXYYfxfyfxyfxyfxfyfy()()(,)()()()()XYYXYXXfxfyfxyfyxfyfxfx39以上所述关于二维随机变量的一些概念，容易推广到维随机变量的情况.nnnxxx,,,21121122(,,,){,,,},nnnFxxxPXxXxXxn上面说过，对个实数,元函数n),,,(21nXXX称为维随机变量的联合分布函数或简称分布函数，它也具有类似于二维随机变量的分布函数的性质.40若存在非负函数使对于任意实数有),,,,(21nxxxfnxxx,,,21nxxxnnxddxdxxxxfxxxFnn11212121),,(),,,(则称为的概率密度函数.设的分布函数为已知，则的维边缘分布函数就随之确定.),,,(21nxxxf),,,(21nXXX),,,(21nXXX),,,(21nxxxF),,,(21nXXX)1(nkk41),,,(21nXXX1X),(21XX111()(,,,)XFxFx121212,(,)(,,,,)XXFxxFxx例如关于、关于的边缘分布函数分别为42又若为的概率密度函数.则关于、关于的边缘密度函数分别为),,,(21nxxxf),,,(21nXXX),,,(21nXXX1X),(21XX111223()(,,,)Xnnfxfxxxdxdxdx12121234,(,)(,,,)XXnnfxxfxxxdxdxdxnxxx,,,211212112212(,,,,,,)(,,,)(,,,)mnmnFxxxyyyFxxxFyyy若对于所有的有),,,(21mXXX则称是相互独立的.43nmyyyxxx,,,;,,,2121),,,,,,(2121nmyyyxxxF112212(,,,)(,,,)mnFxxxFyyy若对于所有的有21,,FFF),,,(),,,,(2121nmYYYXXX),,,,,,,(2121nmYYYXXX其中依次为随机变量和的分布函数，),,,(21mXXX),,,(21nYYY和是相互独立的.则称随机变量44我们不加证明地给出以下定理，它在数理统计中是很有用的.定理设和相互独立，和相互独立，又若是连续函数，则和相互独立.),,,(21mXXX),,,(21nYYY),,2,1(miXi),,2,1(njYjgh,),,,(21mXXXh),,,(21nYYYg