3.2 静电场高斯定理

3.2静电场高斯定理1.电力线3.2.1电力线（电场线，线）E1831年，法拉第首先在磁场中引入了一种直观形象地描述场的几何方法——力线。接着在1832年，他又把这种方法应用到静电场中来。后来，麦克斯韦发现了法拉第这种描述方法的深刻数学内涵，从而将这种方法发展成描述一切矢量场的普遍手段。在静电场重，我们用下面方法引入力线。（1）在静电场中画一簇带箭头的曲线，规定曲线上任一点的切线方向代表该点的电场强度方向。切线的正方向顺着箭头方向选取。E上面那一簇曲线被称为电力线。为了使电力线能同时表示电场强度的大小，我们又有如下规定。（2）在场中各点垂直于电场强度方向作一个小面元ds，穿过该面元的电力线条数用dN表示。并让：dsdNE按上面规定，我们可以说穿过单位面积的电力线条数，与电场强度在数值上相等。首先需要说明，什么叫“穿过单位面积的电力线条数”。在国际单位制中，单位面积为1平方米。实际上我们并不是真的取1平方米面积，去数一数有多少条力线穿过；而是取一极其小的面积元ds，并按穿过该小面积元的电力线密度将其放大到1平方米，然后按放大后的那1平方米上的电力线条数去定义小面积元ds处的电场强度大小。其次我们要说明，场强大小往往不是整数，而力线的条数总是整数。比如有一力线非常稀疏的场，在2平方米的面积上只有一条力线穿过，按这样的密度考虑，1平方米就平均只有0.5条力线了。这样就可以解决力线为整数而场强不为整数的矛盾了。我们从上面的几何表示中，一眼就可以看出电场强度的方向；并且从电力线的疏密程度，也可以看出电场强度的大小。（2）任何两条电力线在无电荷处不相交。2.电力线的性质（1）起于正电荷或来自无穷远；止于负电荷或伸向无穷远；3.典型带电体的电力线+++++++++++++++3.2.2电通量穿过任意曲面S的电力线代数和称为穿过该曲面的电通量。1.电通量的几何定义我们先说说电力线的代数和是什么意思。提到代数和，说明电通量是有正负的。我们知道电力线上面是有箭头的，因此电力线穿过曲面就有一个方向的问题。我们可以规定从一侧穿过的电力线其电通量为正，那么从相反方向穿过的电力线其电通量就为负。2.电通量的数学表示SSnE接下来，我们对电通量的正负作出具体规定。先给曲面规定一个法线方向，凡力线与法线成锐角时其通量为正，反之为负。（1）穿过均匀电场中平面的电通量。定义有向曲面：nSS于是在均匀电场中，穿过一个平面的电通量可表示为：SEe（2）穿过非均匀电场中任意曲面的电通量。Sd我们将任意曲面分成一系列有向面元，容易理解穿过任意曲面的电通量为：SdEde)(SeeSdEd如果曲面是闭合的，穿过它的电通量则用如下面积分表示：)(SeeSdEd电磁学中的闭合曲面被统称为高斯面。对非闭合曲面，其上小面元的法向可随意选取，但无论怎样选取，结果的正负都会告诉我们电力线是从哪一侧穿过的。不过，对高斯面则规定一律取外法向。按这样规定，进入高斯面的电力线其电通量为负，而从高斯面穿出的电力线其电通量为正。3.2.3静电场高斯定理1.穿过高斯面的电通量定性分析如左图所示，当高斯面内无电荷（或电荷的代数和为零）的时候，进入、穿出的电力线条数相等，于是穿过高斯面的电通量显然为零。当高斯面内有净剩的正电荷时，穿过高斯面的电通量显然为正；当高斯面内有净剩的负电荷时，穿过高斯面的电通量显然为负。于是有下面结论：穿过高斯面的电通量只取决于高斯面内的电荷代数和，而与高斯面外的电荷无关。2.静电场高斯定理)(0)(0)(11ViiSedVqSdE内穿过高斯面的电通量与高斯面内电荷的关系由下式决定：象静电场这样，其力线有头有尾、有始有终的矢量场被称作有源场。高斯定理正是反映了静电场的这种有源性，静电场的源就是电荷。3.有源场真空中的任何静电场中，穿过高斯面的电通量，在数值上等于该曲面内电荷的代数和除以，这叫静电场高斯定理。03.2.4高斯定理的应用当场源电荷的分布有较高的对称性时，我们可以利用这种对称性，并借助高斯定理来求场强。下面分三种对称性来介绍。1.球对称（1）均匀带电球面。（例3－4）R由对称性分析容易得到：①球面内、外任一点的电场强度方向只能沿半径向里或向外。②到球心距离相等的点上，电场强度大小必定相等。根据对称性分析，可取如图所示的高斯面，应用高斯定理：1Sr1SR02)(41QErSdES)(420RrrQE2S同理，取如图所示的高斯面，应用高斯定理：042)(2ErSdESr2SR)(0RrE在球面上（见例3－2）：)(820RrRQErEO0E204rQER208RQE对称性分析及其结果，同球面情况完全相同，因此所取高斯面也相同。（2）均匀带电球体。（例3－5）02)(41QErSdES)(420RrrQERr2Sr1S3032)(42RQrErSdES)(430RrRQrErEOrE21rER2.轴对称（1）无限长均匀带电细线。由对称性分析容易得到：①任一点的电场强度方向只能垂直于轴线向外辐射或指向轴线。②到轴线距离相等的点上，电场强度大小必定相等。nEnEr作同轴圆柱形高斯面，应用高斯定理：下底上底侧SdESdESdEe02llrESdE侧rE02（2）无限长均匀带电圆柱面。（例3－6）对称性分析及其结果，同无限长细线情况完全相同。02llrE)(20RrrE02lrE)(0RrE在柱面上（见例3－3）：)(40RrRErEO0ErE02RRE04（3）无限长均匀带电圆柱体。（例3－7）)(20RrrE)(220RrRrE对称性分析及其结果，请同学自己进行。（1）无限大均匀带电薄平板。（例3－8）3.镜像对称对称性分析可以得到：①任一点的场强只能垂直于板面。②到平板距离相等的点，场强大小必相等。选取一个盒子状高斯面，其两个端面与平板平行，侧面与平板垂直，截面形状不限。应用高斯定理：EnEnxSSESdES0)(12)0(2)0(200xixiE（2）无限大均匀带电厚平板。与无限大薄平板具有完全相同的对称性，因此可选同样的高斯面求解。bx设电荷体密度为。SbSE0112)2(2)2(200bxibbxibESxSE21202)2(0bxixEbx用薄平板叠加的求解方法，请同学自行研究。