3.2(二维随机变量的边缘分布)

第3章多维随机变量及其分布3.2二维随机变量的边缘分布二维随机变量(X,Y)的分布主要包含三个方面的信息:1.每个分量的信息，即边缘分布;2.两个分量之间的关系程度，即相关系数;3.给定一个分量时，另一个分量的分布，即条件分布;本节先讨论边缘分布．第3章多维随机变量及其分布3.2.1二维随机变量的边缘分布函数设二维随机变量(X，Y)具有分布函数F(x，y)．X和Y都是一维随机变量，也各有对应的分布函数FX(x)和FY(y)，依次称为二维随机变量(X，Y)关于X和关于Y的边缘分布函数．易知以上两式说明，由联合分布函数可以求出每个分量的分布函数，但由各个分量的分布函数不一定求出联合分布函数．),(),(lim},{}{)(xFyxFYxXPxXPxFyX),(),(lim},{}{)(yFyxFyYXPyYPyFxY3.2.1二维随机变量的边缘分布函数【例3.8】设(X，Y)的分布函数为求关于X和Y的边缘分布函数FX(x)、FY(y)．解：由定义知同理可求得：yxyxyxF,),2)(arctan2(arctan1),(2),(lim)(yxFxFyX)]2)(arctan2(arctan1[lim2yxyxxx-,21arctan1)2(arctan12yyyFY-,21arctan1)(3.2.2二维离散型随机变量的边缘分布律设二维离散型随机变量(X，Y)的分布律为P{X=xi，Y=yj}=pij，i，j=1，2，…，则},{}{YxXPxXPii},{}{jjyYXPyYP1},{jjiyYxXP,2,1,1ipjij1},{ijiyYxXP,2,1,1jpiij3.2.2二维离散型随机变量的边缘分布律设二维离散型随机变量(X，Y)的分布律为P{X=xi，Y=yj}=pij，i，j=1，2，…，则称为(X，Y)关于X的边缘分布律；称为(X，Y)关于Y的边缘分布律．,2,1,}{1ipxXPpjijii,2,1,}{1jpyYPpiijjj;,2,1,}{1ipxXPjiji.,2,1,}{1jpyYPiijjXYixxx21jyyy2112111ippp22212ipppijjjppp21iPjP联合分布与边缘分布的关系:【补充例】已知下列分布律求其边缘分布律.XY1042164212421242910XY1042124212421242610}{iixXPP}{jjyYPP解:7473174733.2.2二维离散型随机变量的边缘分布律【例3.9】设一只口袋中有5个球，有两个球上标有数字1，3个球上标有数字0，现从中(1)有放回地摸两个球，(2)无放回地摸两个球.并以X表示第一次摸到的球上标有的数字，以Y表示第二次摸到的球上标有的数字，求(X，Y)的联合分布律及其两个边缘分布律．解：(1)(X，Y)所有可能取值为：(0，0)、(0，1)、(1，0)、(1，1)则同理}0,0{YXP}0|0{}0{XYPXP2595353,2565253}1,0{YXP,256}0,1{YXP254}1,1{YXP3.2.2二维离散型随机变量的边缘分布律于是(X，Y)的分布律和边缘分布律如下：12/53/5P{Y=yj}2/54/256/2513/56/259/250P{X=xi}10YX3.2.2二维离散型随机变量的边缘分布律(2)(X，Y)所有可能取值仍然为：(0，0)、(0，1)、(1，0)、(1，1)则同理于是(X，Y)的分布律和边缘分布律如下：}0|0{}0{}0,0{XYPXPYXP10342531034253}1,0{YXP,103}0,1{YXP12/53/5P{Y=yj}2/51/103/1013/53/103/100P{X=xi}10YX101}1,1{YXP比比看对于两种情况，X，Y的边缘分布是相同的，但(X，Y)的分布不同，说明由联合分布可得到边缘分布，但由边缘分布却不一定能确定联合分布．3.2.2二维离散型随机变量的边缘分布律12/53/5P{Y=yj}2/54/256/2513/56/259/250P{X=xi}10YX12/53/5P{Y=yj}2/51/103/1013/53/103/100P{X=xi}10YX设二维连续型随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)，概率密度为f(x，y).因为由分布函数定义知，X是一个连续型随机变量，且其概率密度为同样有所以,Y也是一个连续型随机变量，其概率密度为3.2.3二维连续型随机变量的边缘概率密度xXdxdyyxfxFxF)),((),()(dyyxfxfX),()(dxyxfyfY),()(yYdydxyxfyFyF)),((),()(3.2.3二维连续型随机变量的边缘概率密度称为(X，Y)关于X的边缘概率密度．称为(X，Y)关于Y的边缘概率密度．dxyxfyfY),()(dyyxfxfX),()(3.2.3二维连续型随机变量的边缘概率密度【例3.10】设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为求边缘概率密度fX(x)和fY(y)．解：f(x，y)的非零区域如图:其它,0||,10,1),(xyxyxfdyyxfxfX),()(其它,010,2xxdxyxfyfY),()(其它,010,01,11ydxydxyy其它,010,101,1yyyy其它,010,xdyxx).()(.,0,,6),(2xFxfXxyxyxfYXXX和边缘分布函数的边缘概率密度求关于其他具有联合概率密度和设随机变量解:yyxfxfXd),()(xy2xyOxy)1,1(其他,d010,d62yxyxx【补充例】其他,010),(62xxxdxxfxFxXX)()(.,0,10),(6)(2其他由于xxxxfX其他,110,)(600,0020xdxxxdxxdxxx其他,110,230,032xxxx【例3-11】设，试求二维正态分布的边缘概率密度fX(x)和fY(y)．解：由于的概率密度为且),(yxf212122112221212222)()())((2)(xxyyxy}])())((2)([)1(21exp{1212222212121212221yyxx所以故X～N(1,12)，同理dyyxfxfX),()(dyxyex})()1(21exp{1212112222)(2212121，则有令)(1111222xytdteexftxX22)(12212121)(即yeyfyY,21)(22222)(2即Y～N(2,22)．我们看到二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布，并且都不依赖于参数，亦即对于给定的，不同的对应不同的二维正态分布，它们的边缘分布都是一样的，这一事实再次表明，单由关于X和关于Y的边缘分布，一般来说不能确定随机变量X和Y的联合分布．222121,,,.,,,21为任意实数其中nxxx概念推广},,,,{),,,(221121nnnxXxXxXPxxxF(1)n维随机变量的分布函数的分布函数维随机变量),,,(21nXXXn有实数使对于任意若存在非负函数nnxxxxxxf,,,),,,,(2121.),,,(),,,(2121度函数的概率密为则称nnXXXxxxfnnxxxnnnxxxxxxfxxxF11,ddd),,,(),,,(212121(2)n维随机变量的概率密度函数.),,,(121分布函数边缘的关于维随机变量称为XXXXnn),,,,()(111xFxFX(3)n维随机变量的边缘分布函数),...,,,,()(iiXxFxFi.),,,(21分布函数边缘的关于维随机变量称为inXXXXn.),,,(121的边缘概率密度关于称为XXXXn,),,,(),,,(2121密度的概率是若nnXXXxxxf,ddd),,,()(322111nnXxxxxxxfxf(4)n维随机变量的边缘概率密度函数nixfiXi,...,3,2),(类似可定义.,.)(,)(.10,,3,2,1并求边缘分布律的联合分布律和试写出的素数的个数是能整除的正整数的个数是能整除设一个值十个值中取等可能地在一整数FDNNFFNNDDN解1098765432112232424340111121112:布律的联合分布律与边缘分和由此得FD样本点DF☺课堂练习43211010000104102101000102DF}{jFP101107102}{iDP10110410210310121098765432112232424340111121112样本点DF或将边缘分布律表示为Dkp4321101104102103Fkp210101107102或将边缘分布律表示为一只硬币一面写上1，另一面写上2，将硬币抛3次,以X记前两次所得数字之和,以Y记后两次所得数字之差(第2次减去第3次).试求X和Y的联合分布律，以及边缘分布律.样本点XY解：先将试验的样本空间及X,Y取值的情况列出如下：111112121122211212221222223333440-1100-110☺课堂练习X和Y的联合分布律及边缘分布律如下表所示：X所有可能取的值为2，3，4；Y所有可能取的值为-1,0,1.易得(X，Y)取(u,v)，u=2,3,4;v=-1,0,1的概率.XY-1011/81/801/82/81/801/81/8P{X=u}P{Y=v}1/41/21/412341/41/21/4样本点XY111112121122211212221222223333440-1100-110