§2.1.2数列的概念与简单表示法(二)

重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]§2.1.2数列的概念与简单表示法(二)§2.1.2数列的概念与简单表示法(二)2020/1/29重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]2一、复习提问：⒈数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，….⒊数列的一般形式：或简记为，其中是数列的第n项,,,,,321naaaanana§2.1.2数列的概念与简单表示法(二)2020/1/29重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]3⒋数列的通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.5.数列的图像都是一群孤立的点.6.数列有三种表示形式：列举法，通项公式法和图象法.7.有穷数列：项数有限的数列.8.无穷数列：项数无限的数列.§2.1.2数列的概念与简单表示法(二)2020/1/29重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]41234567891024681012141618200的图象)1(nnan是些孤立点§2.1.2数列的概念与简单表示法(二)2020/1/29重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]5图象做出常数数列：,4,4,4,412345123450图象，，，，做出摆动数列：11-11--1我们好孤单！我们好孤单！§2.1.2数列的概念与简单表示法(二)2020/1/29重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]6二、讲解新课：知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．观察钢管堆放示意图,寻其规律,建立数学模型．§2.1.2数列的概念与简单表示法(二)2020/1/29重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]7模型一：自上而下：若用an表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且3(17)nann第1层钢管数为4；即：14＝1+3第2层钢管数为5；即：25＝2+3第3层钢管数为6；即：36＝3+3第4层钢管数为7；即：47＝4+3第5层钢管数为8；即：58＝5+3第6层钢管数为9；即：69＝6+3第7层钢管数为10；即：710＝7+3§2.1.2数列的概念与简单表示法(二)2020/1/29重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]8运用每一层的钢管数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1即a1=4；a2=5=4+1=a1+1；a3=6=5+1=a2+1依此类推：an=an-1+1（2≤n≤7）对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要.§2.1.2数列的概念与简单表示法(二)2020/1/29重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]91．递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项),且任一项an与它的前一项an-1(或前n-1项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.说明：递推公式也是给出数列的一种方法.12121,1,(38)nnnaaaaan如下数字排列的一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89递推公式为：§2.1.2数列的概念与简单表示法(二)2020/1/29重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]102．数列的前n项和：数列{an}中，a1+a2+…+an称为数列的前n项和，记为Sn.S1表示前1项之和：S1=a1S2表示前2项之和：S2=a1+a2……Sn-1表示前n-1项之和：Sn-1=a1+a2+…+an-1Sn表示前n项之和：Sn=a1+a2+…+an.∴当n≥1时Sn才有意义；当n-1≥1即n≥2时Sn-1才有意义.§2.1.2数列的概念与简单表示法(二)2020/1/29重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]与an之间的关系(相关关系)：由的定义可知，当n=1时，S1=a1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1，说明：数列的前n项和公式也是给出数列的一种方法.11(1)(2)nnnSnaSSn即§2.1.2数列的概念与简单表示法(二)2020/1/29重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]12三、例题讲解例1.已知数列的第1项是1，以后的各项由公式给出，写出这个数列的前5项.111nnaa{}na分析：题中已给出的第1项即，递推公式：{}na11a111nnaa§2.1.2数列的概念与简单表示法(二)2020/1/29重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]13解：据题意可知：例1.已知数列的第1项是1，以后的各项由公式给出，写出这个数列的前5项.111nnaa{}na123121131,12,12aaaaa58,3511534aaa§2.1.2数列的概念与简单表示法(二)2020/1/29重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]14例2.已知数列中，试写出数列的前4项.na123(3)nnnaaan121,2,aa解：由已知得:121,2,aa32137,aaa432323aaa§2.1.2数列的概念与简单表示法(二)2020/1/29重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]15例3.已知，写出前5项，并猜想．21annaa21na21a22222a323222anna2解法一：观察可得：§2.1.2数列的概念与简单表示法(二)2020/1/29重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]16例3.已知，写出前5项，并猜想．21annaa21na解法二：12nnaa由12nnaa得12nnaa112212312nnnnnnnaaaaaaaannnaa2211§2.1.2数列的概念与简单表示法(二)2020/1/29重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]17例4.已知数列的前n项和,求数列的通项公式:⑴Sn=n2+2n；⑵Sn=n2-2n-1.解：⑴①当n=1时，a1=S1=12+2×1=3；②当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1；③经检验，当n=1时，2n+1=2×1+1=3，∴an=2n+1为所求.§2.1.2数列的概念与简单表示法(二)2020/1/29重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]18⑵①当n=1时，a1=S1=12-2×1-1=-2；例4.已知数列的前n项和,求数列的通项公式:⑴Sn=n2+2n；⑵Sn=n2-2n-1.②当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n2-2n-1)-[(n-1)2+2(n-1)-1]=2n-3；③经检验,当n=1时，2n-3=2×1-3=-1≠-2，为所求.2(1)23(2)nnann§2.1.2数列的概念与简单表示法(二)2020/1/29重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]19四、练习：1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式(1)a1＝0,an+1＝an＋(2n－1)112(2)1,2nnnaaaa11(3)3,32nnaaa2(1)(1)nan2(2)1nan1(3)123nna§2.1.2数列的概念与简单表示法(二)2020/1/29重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]202.已知数列的前n项和,求数列的通项公式:⑴Sn=2n2-3n；⑵Sn=3n-2.(1)45nan111(2)232nnnan§2.1.2数列的概念与简单表示法(二)2020/1/29重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]21小结：本节课学习的主要内容有：1．递推公式及其用法；2．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系.3．Sn的定义及与an之间的关系§2.1.2数列的概念与简单表示法(二)2020/1/29重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]22书面作业课堂练习教材P.31练习3.4教材P.33-34习题2.1A组4.6B组3