数学探究、数学文化、数学建模

第十一章数学探究、数学建模和数学文化“数学探究”在高中数学新课程中的地位、功能和呈现方式“数学建模”在高中数学新课程中的地位、功能和呈现方式“数学文化”在高中数学新课程中的地位、功能和呈现方式第一节“数学探究”在高中数学新课程中的地位、功能和呈现方式数学探究的内涵和意义课程标准中对数学探究的教学要求数学探究学习的特点数学探究的教学案例—欧拉公式的发现数学探究和操作实验结合的案例—折纸中的数学问题开展数学探究的教学建议一、数学探究的内涵和意义定义：数学探究性课题学习，是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程。这个过程包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探求适当的数学结论或规律，给出解释或证明。探究对象：主要是面向课内的学习内容。作用:（1）有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程；（2）初步理解直观和严谨的关系。（3）初步尝试数学研究的过程，体验创造的激情，建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神；（4）有助于培养学生勇于质疑和善干反思的习惯；（5）有助于发展学生创新意识和实践能力。二、课程标准中对数学探究的教学要求1.数学探究课题的选择是完成探究学习的关键。对课题的要求：a.课题的选择要有助于学生对数学的理解；b.有助于学生体验数学研究的过程；c.有助于学生形成发现、探究问题的意识；d.有助于鼓励学生发挥自己的想像力和创造性；e.课题应具有一定的开放性,课题的预备知识最好不超出学生现有的知识范围。2.数学探究课题来源多样化。a.可以是某些数学结果的推广和深入；b.可是以不同数学内容之间的联系和类比；c.也可以是发现和探索对学生自己来说是新的数学结果。3.数学探究课题如何建立。a.从教材提供的案例和背景材料中发现和建立；b.从教师提供的案例和背景材料中发现和建立；c.特别鼓励学生在学习数学知识、技能、方法、思想的过程中发现和提出自己的问题并加以研究。4.学生在数学探究的过程中,应学会查找资料、收集信息、阅读文献。5.学生在数学学习探究过程中，应养成独立思考和勇于质疑的习惯，同时也应学会与他人交流台作,建立严谨的科学态度和不怕困难的顽强精神。6.在数学探究目的：学生将初步了解数学概念和结论的产生过程，体验数学研究创造的激情，提高、发现、提出、解决问题的能力，发挥自己的想像力和创新精神。7.高中阶段至少应为学生安排1次数学探究活动。将课内与课外有机地结合起来。例如，可以结合方程的近似求解、导数的应用等内容安排数学探究活动。三、数学学习探究的特点1.探究性表现在研究课题的结论是未知的。结论的获得也不是由老师传授或从书本上能够直接得到，而是学生通过搜集资料、整理资料，分析问题,最后解决问题得出自己的结论。2.数学探究学习主由学生自己完成，学生具有高度的主体性数学探究学习以学生的自主性学习为基础，学生掌握学习的自主权,在学习活动中有很大的自由度。（1）【在学习内容上】问题的来源：a.可以是教师提供的;b.可以是学生自己选择和确定的c.可以是学科知识的拓展延伸;d.可以是对自然和社会现象的探究;e.可以是己经证明的结论;f.可以是未知的知识领域。（2）【在课题学习的过程中】学生自己制定计划，进行自我监控、自我评价,可以充分培养学生的自主意识和自我教育能力。这种习过程,是学习主体对学习习客体的主动探索和不断创新,从而不断发现客体的特征,不断改进己有的认识和经验,建构自己的认知结构的过程。3.探究学习具有开放性首先，学生课题的选择是开放的。可以在教师的指导下,自己选择各自感兴趣的课题;其次，学习的形式是开放的。可以是数学课内知识的扩充,可以是自己感兴趣的数学问题,也可以是数学实验、动手制作等；再次，学习空间是开放的,要求学生从课堂走到课外；学习的途径是开放的；最后，学习结论是开放的。鼓励学生就研究的问题提出自己独特的见解。数学探究学习允许不同的学生按自己的理以及自己熟悉的方式去解决问题,允许不同的学生按各自的能力和所掌握的资料，用自己的思维方式去得出不同的结论,它并不追求结论的唯一性和标准化，这种开放性的特点有利于学生创造思维品质的培养。4.数学课题学习注重学生在学习过程中的体验其关键是学习者能否掌握对学的知识有所选择、判断、解释和运用，从而有所发现、有所创造。探究学习十分注重学生在学习过程中的感受和体验。一个人的创造性思维离不开一定的知识基础,而这个基础应该是间接经验与直接经验的结合。间接经验只有通过直接经验才能更好地被学习者所掌握,并内化为个人经验体系的一部分。在探究学习中，学习者通过亲身实践获得感悟和体验，获得丰富的非结构性知识，在思维方式上大量地依靠直觉与顿悟,这些都有益于创造性思维的培养和发展。四、数学探究的教学案例————欧拉公式的发现五、数学探究和操作实验结合的案例————折纸中的数学问题P264-P277六、开展数学探究的教学建议（1）教师应努力成为数学探究课题的创造者，有比较开阔的数学视野，指导学生进行数学探究做好充分的准备,并积累指导学生迸行数学探究的资源。（2）教师要成为学生进行数学探究的组织者、指导者、合作者。（3）教师应该根据学生的差异，进行有针对性的指导。。（4）数学探究的结果以课题报告或课题论文的方式完成。（5）可以通过小组报告、班级报告、答辩会等方式交流探究成果，通过师生之间和学生之间的讨论来评价探究学习的成绩。（6）数学探究报告及评语可以记入学生成长记录,作为反映学生数学学习过程的资料和推荐依据。（7）教材在适当的章节应该提供一些数学探究课题的案例和背景材料，可以为教师指数学探究学习提供一些参考性的建议。第二节“数学建模”在高中数学新课程中的地位、功能和呈现方式数学建模的内涵和意义课程标准中对数学建模的教学要求数学探建模特点一个中学数学建模的简要案例—教育储蓄问题数学建模的教学策略与教学建议1，数学建模的内涵和意义定义：运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程,现成为不同层次数学教育重要和基本的内容。数学建模是从现实问题中现实问题中寻求建立数学摸型的方法的过程。数学建模可以看成是问题解决的一部分。研究对象:更侧重于非数学领域,但需要用数学工具来解决的问题。如来自日常生活、经济、工程等学科中的应用数学问题。这类问题则往往还是“原坯”形的问题,怎样将它抽象,转化成一个相应的数学问题这本身就是一个问题。过程：作为问题解决的一种模式,它更突出地表现了对原始问题的分析、假设、抽象的数学加工过程;数学工具、方法、模型的选择和分析过程，模型的求解、验证、再分析、修改假设、再求解的迭代过程。数学建模可以通过以下框图体现：实际情景提出问题数学模型数学结果检验可用结果不合乎实际修改合乎实际二、新数学课程标准中对数学建模的要求1.问题是关键，数学建模的问题应是多样的,应来自于学生的日常生活、现实世界、其他学科等方面。同时,解决问题所涉及的知识、思想、方法应与高中数学课程内容有联系。2.通过数学建模,学生将了解和经历上述框图所表示的解决实际问题的全过程,体验数学与日常生活及其他学科的联系,感受数学的实用价值,增强应用意识,提高实践能力。3.每一个学生可以根据自己的生活经验发现并提出问题,对同样的问题,可以发挥自己的特长和个性,从不同角度、层次探讨解决方法,从而获得综合运用知识和方法解决实际问题的经验,发展创新意识。4.学生在发现和决问题的过程中,应学会通过查询资料等手段获取信息。5.学生在数学建模中应采取各种合作方式解决问题,与人交流的习惯,并获得良好的情感体验。6.高中阶段至少应为学生安排1次数学建模活动。还应将课内与课外有机地结合起来,把数学建模活动与综合实践活动有机地结合。三、数学建模的特点数学建模突出的特点是它的实践性。数学建模强调与社会、科学和生活实际的联系，特别是用数学知识发现社会和生活中的问题,并在力所能及的范围内,同时推动学生去关心现实、了解社会、体验人生,并积累一定的感性知识和实践经验。怎样更好地从一般的数学应用过渡到数学建模,这是一个正在被许多园家研究和实践的数学教育课题。我们可以体会出应用题教学变化的一种趋势:问题的来源更生活化,更贴近实际;条件和结论更模糊:可用信息和最终结论更有待学生自挖掘学好数学的基础知识,对于应用来说绝对是必不可少的。理论是应用的基础，没有对数学知识本身的理解和掌握就根本谈不上应用。但有了知识并不等于自然就会应用。,因此我们的数学教学应有意识地为学生创设数学应用意识以便使学生们的应用意识和能力能在实践中得到提高。数学建模的对象确实有许多是以应用题形式出现,但数学建模所涵盖的范围要大的多。常见的文字应用题的求过程常常是找出相应的函数或方程组模型，课本上传统的文字应用题往往有这样的特点：条件清楚准确、不多不少，结论唯一确定,原始问题数学化的过程简单清楚明了,解出的结论也很少需要学生思考是否合乎实际、是否需要进一步调整和修改己有的模型。而这几点往往是一般数学建模过程的难点和“重头戏”所在。四、一个中学建模的简要案例—教育储蓄问题P283五、数学建模的教学策略与教学建议在中学，特别是高中阶段,可以针对学生的不同发展水平,分层次开展多样的数学活动。形式可以是多种多样的,常见的主要有以三种：（1）结合正常的课堂教学,在部分环节上“切入”应用和建模的内容；专题1从列方程解应用题到数学建模专题2韩信点兵的数学模型专题3函数建模——容器中小的深度与注水时间的关系专题4几何建模（一）——飞机飞行的最短路径专题5几何建模（二）追截走私船问题专题6有关复利的数学模型专题7最值模型专题8“命运的数学公式”专题9中奖概率专题10对策模型——嫌疑犯的选择专题11水污染治理方案的比较专题12“连环送”中的折扣问题专题13水库中鼻坝高度与挑角的确定专题14双瓶输液中的深度问题（2）开展以数学应用和数学建模为主题的课外的活动,（3）数学建模选修课程。其关键是寻找一批适合学生参与的“好问题”，应特别注意以下几点：(1)应努力选择与学生的生活实际相关的问题,并减少对问题不必要的人为加工和刻意雕琢。(2)数学建模问题的应努力表现出建模的全过程,而不仅仅是问题本身的解决。（3）数学建模选用的问题最好有较为宽泛的数学背景、有不同的层次,以便不同水平的学生参与，并注意问题的可扩展性和开放性口（4）应鼓励学生在问题分析决的过程中使用计算工具和成品工具软件。（5）提倡教师自己动手、因地制宜的收集、编制、改造数学应用或建模问题,更适合学生的使用,并根据所教学生的实际情况采取适当的教学或学习策略。学习数学建模好处：1.更有利于发挥教师的主导作用和学生的主体作用。它体现了教学过程由以教为主到以学为主的重心的转移。2.在教学的组织中体现“学法”，把教和学融为一体。3.数学建模的学习和实践也应促进了课本内外其他数学知识的学习。同学们在决问题的困惑和克服困难的过程中体会到了数学理论知识的作用。评价学生在数学建模中的表现时,要重过程、重参与，不要苛求数学建模过程的严密、结果的准确。评价内容应关注以下几个方面:创新性----------问题的提出和决的方案有新意。现实性----------问题来源于学生的现实。真实性----------确实是学生本人参与制作的,数据是真实的。合理性----------建模过程中使用的数学方法得当,求解过程合乎常理。有效性----------建模的结果有一定的实际意义口。数学文化的内涵数学文化的特征数学文化的价值在高中数学教材中体现数学文化的原因在高中数学教材中体现数学文化应达到的目标在高中数学教材中体现数学文化的总体思想和途径在高中数学教材中体现数学文化的具体方案第三节“数学文化”在高中数学新课程中的地位、功能和呈现方式一数学文化的内涵狭义：数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展.广义：除上述内涵以外，还包含数学家，数学史，数学美，数学教育。数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系.二数学文化的特征1.抽象性和形式化.由于这个特征，使得人们对数学文化的认识不同于对文学、宗教、绘画、音乐等形式的文化;同时，数学