附录I 截面的几何性质

材料力学附录I截面的几何性质§I-1截面的静矩和形心位置§I-3平行移轴公式§I-4转轴公式§I-2惯性矩·惯性积·惯性半径§I-1截面的静矩和形心位置yxodAyxA一、静矩ydAAxydAS—微面积dA对x轴的静矩面积A对x轴的静矩AyxdAS面积A对y轴的静矩注意：①静矩是对一定的轴而言，同一截面对不同的轴静矩不同，静矩可为正，可为负，也可为零。②静矩的量纲:[S]=[L3]。常用单位:cm3。二、形心（平面图形的几何中心）由静力学可知：均质平面薄板的重心公式均质平面薄板的重心也是该薄板平面图形的形心。AxdAxAcAydAyAcyxodAyxACycxcASAxdAxyAcASAydAyxAcAxScyAyScx静矩的另一计算方法yxodAyxACycxc静矩的计算方法：AxydASAyxdAS①AxScyAyScx②说明：截面图形对形心轴的静矩等于零。（截面图形对某一轴的静矩若等于零，则该轴必通过截面的形心。）ycxc三、组合截面的静矩计算niicinixixAySS11niicxAyS1yxoC(xc,yc)ycxcniiniicicAAyy11niiniicicAAxx11组合截面形心的确定式60602020例1.求截面图形的形心。解：1.建立参考坐标xyyxC(xc,yc)2.求坐标xc，ycniiniicicAAyy110cx212211AAAyAycc60206020602010602050mm3030ⅠⅡ●求截面图形的形心分割法负面积法负面积法§I-2惯性矩·惯性积·惯性半径一、惯性矩dAy2yxodAyxAAxdAyI2—微面积dA对x轴的轴惯性矩截面A对x轴的轴惯性矩AydAxI2截面A对y轴的轴惯性矩APdAI2—截面A对O点的极惯性矩注：轴惯性矩简称轴惯矩，又称为截面的二次轴矩●轴惯性矩与极惯性矩之间的关系yxodAyxA222yxyxPIIIdAyxdAIAAP222表明：截面对其所在平面内任一点的极惯性矩等于此截面对通过该点的一对正交坐标轴的轴惯性矩之和。二、惯性积yxodAyxAAxyxydAI截面A对x、y轴的惯性积①Ix、Iy和Ip永为正；Ixy可为正，可为负，也可为零。注意：②[Ix、Iy、Ip、Ixy]=[L4]；常用单位:cm4。③如果截面有一对称轴，那么对包含于这一对称轴的正交坐标轴的惯性积为零。三、惯性半径xdAyAAxdAyI2ixAxxAxxAidAidAiI222xxII可调整ix的大小，使即AiIxx2AIixx——惯性半径注意：[ix]=[L]；常用单位:cm。A四、简单截面的惯性矩计算（是指对通过截面形心的对称轴的惯性矩计算）1.矩形截面yxCbhydyAxdAyI2bdydA222222hhhhxdyybbdyyI123bhIx123hbIy同理2.圆形截面yxCD64214DIIIPyxyxPIII3.圆环形截面yxCDd4416421DIIIPyx同理Dd其中：4.常用型材的截面的几何性质查：附录Ⅲ型钢规格表§I-3平行移轴公式一、平行移轴公式yxodAyxACba已知截面的形心C(a,b)，过形心C建立一个与原坐标系平行的坐标系xcCyc如图：ycxcxcycaxxcbyycdAbydAyIAcAx22yxodAyxACbaycxcxcycdAbydAyIAcAx22dAbbyyAcc222dAybdAbdAyAcAAc222AbIxc20xcS即AbIIxcx2AaIIycy2abAIIxcycxy平行移轴公式注意：a、b的正负号。二、组合截面的惯性矩和惯性积的计算niixxII1niiyyII1niixyxyII160602020例2.求截面对通过形心的水平及垂直坐标轴的惯性矩。解：1.建立参考坐标x′yyx′C(xc,yc)2.求形心坐标xc，yc0cx212211AAAyAyyccc6262621625cm33.过形心作水平坐标轴xyc=30xⅠⅡ4.求Ix和IyΠΙxxxIII6221226622126223234136cmΠΙyyyIII1262122633440cm60602020yx′C(xc,yc)yc=30xⅠⅡ例3.求截面对通过形心的水平及垂直坐标轴的惯性矩。x′1602020yC(xc,yc)160200ⅡⅠxyc=130解：1.建立参考坐标x′y2.求形心坐标xc，yc0cx212211AAAyAyyccc1612201616128201610cm133.过形心作水平坐标轴xx′1602020yxC(xc,yc)160200ⅡⅠyc=1304.求Ix和IyΠΙxxxIII201631220162344651cm1612512161223ΠΙyyyIII1212161216203344523cmx′1602020yxC(xc,yc)160200ⅡⅠyc=130§I-4转轴公式yxoyxdAAAxdAyI2AydAxI2AxyxydAI●规定：逆时针转为正sinycosxx1sinxcosyy1AxdAyI211AydAxI211AyxdAyxI1111sinycosxx1sinxcosyy1yxoyxdAA22221sinIcosIIIIIxyyxyxx22221sinIcosIIIIIxyyxyxyyxoyxdAA22211cosIsinIIIxyyxyx(1)22221sinIcosIIIIIxyyxyxx(2)22221sinIcosIIIIIxyyxyxy(3)22211cosIsinIIIxyyxyx转轴公式讨论：1.（1）+（2）得pyxyxIIIII11截面对通过一点的正交坐标轴的轴惯性矩之和是一常量（极惯性矩）。(1)22221sinIcosIIIIIxyyxyxx(2)22221sinIcosIIIIIxyyxyxy(3)22211cosIsinIIIxyyxyx2.)(fIIIyxyx1111、、注意：的正负号。22211cosIsinIIIxyyxyx3.当=0时，yxoyxdAAxyyxII11当=90o时，xyyxII11概念：0110yxI①主惯性轴—截面对其惯性积为零的一对坐标轴。②形心主惯性轴—坐标轴的原点通过截面的形心，又惯性积为零。C主轴有无数对形心主轴只有一对，是唯一的。截面对于形心主惯性轴的惯性矩叫形心主惯性矩。截面对于主惯性轴的惯性矩叫主惯性矩。022211cosIsinIIIxyyxyx令●其它截面确定。的值，主轴的位置就可即可求0本章完