选修4―5不等式选讲高考题及答案

1、解不等式311xx2、已知函数2)(xaxxf.（1）当3a时，求不等式3)(xf的解集；（2）若4)(xxf的解集包含2,1，求a的取值范围.3、若关于实数x的不等式axx35无解，则实数a的取值范围是.4、若不等式24kx的解集为31xx，则实数k.5、不等式121xx的实数解为.6、已知函数mxxxf21)(.（1）当5m时，求0)(xf的解集；（2）若关于x的不等式2)(xf的解集是R，求m的取值范围.7、已知函数axxf)(.（1）若不等式3)(xf的解集为51xx，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若mxfxf)5()(对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.8、已知函数axxf)(，其中1a.（1）当2a时，求不等式44)(xxf的解集；（2）已知关于x的不等式2)(2)2(xfaxf解集为21xx，求a的值.9、设函数xaxxf3)(，其中0a.（1）当1a时，求不等式23)(xxf的解集；（2）若不等式0)(xf的解集为1xx，求a的值.10、已知a、b、c,0，其1cba.求证：（1）8111111cba；（2）3cba.11、设a、b、c,0，其1cabcab.求证：（1）3cba；（2）cbaabcacbbca3.12、已知0x，0y，证明：xyyxyx91122.13、已知函数2)(xmxf，Rm，且0)2(xf的解集为1,1.（1）求m的值；（2）若a，b，c∈R＋，且1a＋12b＋13c＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.14、若3x＋4y＝2，则x2＋y2的最小值为.15、求函数xxy9453的最大值.1、解：①当x≤－1时，原不等式可化为－(x＋1)－(x－1)≥3，解得：x≤－32.②当－1x1时，原不等式可以化为x＋1－(x－1)≥3，即2≥3.不成立，无解．③当x≥1时，原不等式可以化为x＋1＋x－1≥3.所以x≥32.[9分]综上，可知原不等式的解集为x|x≤－32或x≥32.2、解(1)当a＝－3时，f(x)＝－2x＋5，x≤2，1，2x3，2x－5，x≥3.当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；当2x3时，f(x)≥3无解；当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4.所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．(2)f(x)≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|⇔4－x－(2－x)≥|x＋a|⇔－2－a≤x≤2－a.由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．3、解析∵|x－5|＋|x＋3|＝|5－x|＋|x＋3|≥|5－x＋x＋3|＝8，∴(|x－5|＋|x＋3|)min＝8，要使|x－5|＋|x＋3|a无解，只需a≤8.4、解析∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.5、解析∵|x＋1||x＋2|≥1，∴|x＋1|≥|x＋2|.∴x2＋2x＋1≥x2＋4x＋4，∴2x＋3≤0.∴x≤－32且x≠－2.6、解(1)由题设知|x＋1|＋|x－2|5，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：x≥2，x＋1＋x－25或－1≤x2，x＋1－x＋25或x－1，－x－1－x＋25，解得函数f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(3，＋∞)．(2)不等式f(x)≥2即|x＋1|＋|x－2|m＋2，∵x∈R时，恒有|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，不等式|x＋1|＋|x－2|≥m＋2解集是R，∴m＋2≤3，m的取值范围是(－∞，1]．7、解方法一(1)由f(x)≤3得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，所以a－3＝－1，a＋3＝5，解得a＝2.(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)，于是g(x)＝|x－2|＋|x＋3|＝－2x－1，x－3，5，－3≤x≤2，2x＋1，x2.所以当x－3时，g(x)5；当－3≤x≤2时，g(x)＝5；当x2时，g(x)5.综上可得，g(x)的最小值为5.从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]．方法二(1)同方法一．(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|.设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)．由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)，得g(x)的最小值为5.从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]．8、解(1)当a＝2时，f(x)＋|x－4|＝－2x＋6，x≤2，2，2＜x＜4，2x－6，x≥4.当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，解得x≤1；当2＜x＜4时，f(x)≥4－|x－4|无解；当x≥4时，由f(x)≥4－|x－4|得2x－6≥4，解得x≥5；所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}．(2)记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，则h(x)＝－2a，x≤0，4x－2a，0＜x＜a，2a，x≥a.由|h(x)|≤2，解得a－12≤x≤a＋12.又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，所以a－12＝1，a＋12＝2，于是a＝3.9、解：（Ⅰ）当1a时，()32fxx可化为|1|2x。由此可得3x或1x。故不等式()32fxx的解集为{|3xx或1}x。(Ⅱ)由()0fx得30xax此不等式化为不等式组30xaxax或30xaaxx即4xaax或2xaaa因为0a，所以不等式组的解集为|2axx由题设可得2a=1，故2a10、证明(1)∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴a＋b≥2ab，b＋c≥2bc，c＋a≥2ca，(1a－1)·(1b－1)·(1c－1)＝b＋ca＋ca＋babc≥2bc·2ac·2ababc＝8.(2)∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴a＋b≥2ab，b＋c≥2bc，c＋a≥2ca，2(a＋b＋c)≥2ab＋2bc＋2ca，两边同加a＋b＋c得3(a＋b＋c)≥a＋b＋c＋2ab＋2bc＋2ca＝(a＋b＋c)2.又a＋b＋c＝1，∴(a＋b＋c)2≤3，∴a＋b＋c≤3.11、证明(1)要证a＋b＋c≥3，由于a，b，c0，因此只需证明(a＋b＋c)2≥3.即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)．即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.而这可以由ab＋bc＋ca≤a2＋b22＋b2＋c22＋c2＋a22＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)证得．∴原不等式成立．(2)abc＋bac＋cab＝a＋b＋cabc.在(1)中已证a＋b＋c≥3.因此要证原不等式成立，只需证明1abc≥a＋b＋c.即证abc＋bac＋cab≤1，即证abc＋bac＋cab≤ab＋bc＋ca.而abc＝ab·ac≤ab＋ac2，bac≤ab＋bc2，cab≤bc＋ac2.∴abc＋bac＋cab≤ab＋bc＋ca(a＝b＝c＝33时等号成立)．∴原不等式成立．12、证明：因为x0，y0，所以1＋x＋y2≥33xy20，1＋x2＋y≥33x2y0，故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥33xy2·33x2y＝9xy.21、(1)解因为f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等价于|x|≤m.由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.(2)证明由(1)知1a＋12b＋13c＝1，又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)1a＋12b＋13c≥a·1a＋2b·12b＋3c·13c2＝9.13、解由柯西不等式(32＋42)·(x2＋y2)≥(3x＋4y)2，①得25(x2＋y2)≥4，所以x2＋y2≥425.不等式①中当且仅当x3＝y4时等号成立，x2＋y2取得最小值，由方程组3x＋4y＝2，x3＝y4，解得x＝625，y＝825.因此当x＝625，y＝825时，x2＋y2取得最小值，最小值为425.14、函数的定义域为[5，9]3549324225295*21045=396.44yxxxxxxx函数仅在，即时取到