正弦函数图像和性质

函数函数函数正弦函数的图像与性质yxo1-1223221-1022322yx●●●正弦函数y=sinx（xR)的图象y=sinx(x[0,])2633265●●●●●●●673435611●●●正弦函数的图象x6yo--12345-2-3-41y=sinxx[0,2]y=sinxxR正弦曲线yxo1-1223222oxy---11--13232656734233561126五点作图法)0,0()0,()0,2()1,(2)1(,23图像中关键点．．．2．32xy0π．2π1-1x．．．．．五点法正弦函数y=sinx的性质x6yo--12345-2-3-411.定义域：2.值域：[-1,1]1sin,22xZkkx时，当且仅当1sin,22xZkkx时，当且仅当2223Rxy的取值范围。求aRxaax,,21sin.12.求函数的值域，并求取得最值时X的取值集合。（1）y=-2sinx（3）y=sin2x+2sinx-2（2）y=2sin(2x+)],4[x4周期的概念一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期．奎屯王新敞新疆x6yo--12345-2-3-41yxo1-13242232图象特点:间隔一定长度图象重复出现公式依据：xxsin)2sin(周期性是三角函数的一大特点正弦函数的周期性2T周期（最小正周期）)sin(Ayx正弦型函数周期（最小正周期）2T讲授新课例.求下列三角函数的周期：)sin(Ayx2T例：求使函数y＝2＋sinx取最大值、最小值的x的集合，并求出这个函数的最大值，最小值和周期T.-2π2π2π32π11-xyo-]π20[sin2，，xxy]π20[sin，，xxy,312)(sin2yπ,22πmaxmaxxZkkxxx时，.112)(sin2yπ,22πminminxZkkxxx时，解.π2T例：求下列函数的最大值、最小值，以及使函数取得最大值、最小值的自变量x的集合。2)23(sin1)y(2x45sin3sin2)y(2xx[例]求函数y＝3－2sinx＋π6的最大值与最小值及相应的x的值．[解]当sinx＋π6＝1时，有x＋π6＝2kπ＋π2(k∈Z)．∴当x＝2kπ＋π3(k∈Z)时，ymin＝1.当sinx＋π6＝－1，即x＋π6＝2kπ－π2(k∈Z)，即x＝2kπ－23π(k∈Z)时，ymax＝5.练习：函数y＝asinx＋b的最大值为2，最小值为－1，则a＝________，b＝________.[答案]32或－3212[解]当a0时，由题意得a＋b＝2－a＋b＝－1，解得a＝32b＝12.当a0时，由题意，得－a＋b＝2a＋b＝－1，解得a＝－32b＝12.正弦函数的奇偶性由公式sin(－x)＝－sinx图象关于原点成中心对称.正弦函数是奇函数．xyo--1234-2-312π2π32π52π72π2π32π5在闭区间上,是增函数；2π2π，正弦函数的单调性xyo--1234-2-312π2π32π52π72π2π32π5x……sinx2π2π2π3…0…-1010-1在闭区间上，是减函数.2π32π，Zkkk,π22ππ,22π观察正弦函数图象Zkkk,π223ππ,22π•复合函数y＝f[g(x)]•由函数y＝f(t)和函数t＝g(x)复合而成•单调性的判定方法是：当y＝f(t)和t＝g(x)同为增(减)函数时，y＝f[g(x)]为增函数；当y＝f(t)和t＝g(x)一个为增函数，一个为减函数时，y＝f[g(x)]为减函数．“同增异减”[例]求y＝sin3x－π3的单调区间．[分析]令t＝3x－π3，当x∈R时单调递增，所以当函数y＝sint递增时，复合函数y＝sin3x－π3也单调递增；当函数y＝sint递减时，复合函数y＝sin3x－π3也单调递减．由2kπ－π2≤3x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得23kπ－π18≤x≤23kπ＋518π，故原函数的单调递增区间为23kπ－π18，23kπ＋5π18，k∈Z.由2kπ＋π2≤3x－π3≤2kπ＋3π2，k∈Z，得23kπ＋518π≤x≤2k3π＋1118π，故原函数的单调递减区间为23kπ+5π18，23kπ＋11π18，k∈Z.[例]求y＝sin3x－π3的单调区间．练习：函数y＝sinπ4－2x的单调增区间的________．[答案]3π8＋kπ，7π8＋kπk∈Z[解]y＝sinπ4－2x＝－sin2x－π4，∴函数y＝sinπ4－2x的单调增区间，即为函数y＝sin2x－π4的单调减区间，令π2＋2kπ≤2x－π4≤3π2＋2kπ，k∈Z，∴3π8＋kπ≤x≤7π8＋kπ，k∈Z，∴函数y＝sinπ4－2x的单调增区间为3π8＋kπ，7π8＋kπk∈Z.x6yo--12345-2-3-41正弦函数的对称性)(k2xZk对称轴：)(0kZk），对称中心：（2223例．函数y＝sin2x＋π3的对称轴方程为________，对称中心坐标为________．[答案]x＝kπ2＋π12，k∈Zkπ2－π6，0k∈Z[解]∵函数y＝sinx，x∈R的对称轴方程为x＝kπ＋π2，k∈Z，对称中心坐标为(kπ，0)，k∈Z，∴令2x＋π3＝kπ＋π2，得x＝kπ2＋π12，k∈Z，令2x＋π3＝kπ，得x＝kπ2－π6，k∈Z，故函数y＝sin(2x＋π3)的对称轴方程为x＝kπ2＋π12，k∈Z，对称中心坐标为kπ2－π6，0，k∈Z.定义域值域奇偶性周期性单调性最值实数集R[-1,1]奇函数2π2,222kk在（kZ）上是增函数；32,222kkZ在(k)上是减函数；max212xky当时，)(k2xZk对称轴：)(0kZk），对称中心：（例不通过求值，比较下列各式的大小：解：.]2,2[sin,218102)1(上是增函数在区间且函数因为－xy),18sin()10sin(所以与yxo1-122322练习：不求值，比较下列各对正弦值的大小：（１）（２）)10sin()18sin(与43sin32sin与解：（１）,218102且y=sinx在2,2上是增函数，10sin)18sin(（２）,2343322且y=sinx在23,2上是减函数，43sin32sin