正弦和余弦定理应用举例2

正弦和余弦定理应用举例第二课时------考点考题高一年级数学组实际问题抽象概括示意图数学模型推理演算数学模型的解实际问题的解还原说明解应用题的基本思路有关距离测量问题，主要是利用可以测量的数据，通过解三角形计算出不易测量的数据；遇到多边形问题，可以分割为n个三角形来解决.某炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD＝6km，∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面点B处时，测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°，如图，求炮兵阵地到目标的距离.【解】在△ACD中，∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝60°，CD＝6，∠ACD＝45°，根据正弦定理有同理，在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝135°，CD＝6，∠BCD＝30°，根据正弦定理得又在△ABD中，∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝90°，根据勾股定理有AB=所以炮兵阵地到目标的距离为42(km).CD1.某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31千米的公路上B处有一人正沿此公路向A走去，走20千米到达D，此时测得CD为21千米，求此人在D处距A还有多少千米？解：如图所示，易知∠CAD＝25°＋35°＝60°，在△BCD中，由BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA，cosB=123sin.31B所以,ABCAC在中得AB2－24AB－385＝0，解得AB＝35，所以AD＝AB－BD＝15.故此人在D处距A有15千米.测量高度问题一般是利用地面上的观测点，通过测量仰角、俯角等数据计算物体的高度，这类问题一般用到立体几何知识，先把立体几何问题转化为平面几何问题，再通过解三角形加以解决.某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高.依题意画图，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD＝40米，此时∠DBF＝45°，从C到D沿途测塔的仰角，只有B到测试点的距离最短时，仰角才最大，这是因为tan∠AEB＝AB为定值，BE最小时，仰角最大.要求出塔高AB，必须先求BE，而要求BE，需先求BD(或BC).【解】在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，由正弦定理得过B作BE⊥CD于E，显然当人在E处时，测得塔的仰角最大，有∠BEA＝30°.在Rt△BED中，∠BDE＝180°－135°－30°＝15°，在Rt△ABE中，∠AEB＝30°，故所求的塔高为米.62sin1520210(31).4BEDB10tan30(33).3ABBE10(33)32.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.解：在△BCD中，∠CBD＝π－α－β.由正弦定理得所以BC在Rt△ABC中，AB=BCtan测量角度问题也就是通过解三角形求角问题，求角问题可以转化为求该角的函数值.如果是用余弦定理求得该角的余弦，该角容易确定，如果用正弦定理求得该角的正弦，就需要讨论解的情况了.在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(-1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2nmile的C处的缉私船奉命以10的速度追截走私船.此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？本例考查正弦、余弦定理的建模应用.如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD.【解】设缉私船用th在D处追上走私船，则有CD＝10，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝(－1)2＋22－2·(－1)·2·cos120°＝6，6,.sinsinBCACABCBACBC且∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向垂直.∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得∴∠BCD＝30°.即缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船.sin∠BCD=3.外国船只除特许外，不得进入离我国海岸线dnmile以内的区域，如图所示，设A和B是我国的观测站，A与B之间的距离为snmile，海岸线是过A、B的直线，一外国船只在P点，在A站测得∠BAP＝α，同时在B站测得∠ABP＝β，问α及β满足什么三角函数不等式时，就应当向此未经特许的外国船只发出警告，命令其退出我国海域？解：过P作PC⊥AB交BA延长线于C，在△ABP中，由正弦定理，得∴当PC≤d，即时，就应向未经特许的外国船只发出警告.在Rt△APC中，PC=·sin作业：课本19页1，3，5，7