第3讲 8-9节同态与同构

第8-9节同态同构对于带有运算的集合来说，集合是一盘散沙，运算把沙子结合成有机的整体，所以运算是其灵魂，所有研究的内容要和运算建立良好的和谐关系。本节主要研究、比较两个带有运算的集合之间的关系。首先当然要用反映集合之间关系的映射，并且我们感兴趣的是与两个运算有很好的和谐关系的映射。只有这样的映射才能很好反映它们之间的关系和运算性质。所谓和谐指的是什么？定义如果对于两个代数系统,,()()()abAabab:,AA(,)A(,)A和，存在映射满足称:AA是同态映射.(,)A(,)A和同态，简称A与A同态，记为AA到的特别的，当是单射且保持运算时，称为A到A的同态单射；当是满射且保持运算时，称为A到A的同态满射，并说A代数系统（体系）：非空集合连同上面定义的代数运算++-[],,,[],;();;nPxPxMPG例如：；，；，；奇，偶：奇奇偶，奇偶奇，偶奇奇，偶偶偶ZZ～.A,{1,1}AZA(1)()1,nnZ(2)()1,nnZ，运算均为通常意义的数的乘法。不是同态映射；()1,()1,nm()1，nm()()(1)(1)1nm()1(),nm()1，nm()()111nm是同态映射，但不是满射；1,,0(3)()1,,0nZnnnZn是同态映射，且是同态满射.()nAMP,(),()||||||()()nMNMPMNMNMNMN为全体方阵的集合，运算为矩阵乘法,:()令，则是同态满射,所以A与A同态.MMMAAP,运算为数的乘法证明：显然，因为每个方阵都有唯一的行列式，这是一个映射，又00010,(),||001naaPMMPMa是满射.而且，所以它是同态满射。研究两个带有代数运算的集合的性质，利用同态映射还是远远不够的。为此我们先研究同态满射。假设对于代数运算和来说，有一个到满射的同态映射存在，我们就说这个映射是一个同态满射。并说对于代数运算和来说，与同态。AAAA同态满射，可以反映两个代数体系的运算之间的许多联系。定理1如果(,)A(,)A和同态，那么(1)若满足结合律，则也满足结合律；(2)若满足交换律，则也满足交换律.证明：用表示A到A的同态满射(1),,,,,abcAabcA，由是满射，使),(),()aabbcc(()[)()]()()()(())abcabcabcabc(于是由同态满射有())[()()]()()(())abcabcabcabc(()=()(())=(()),()=().abcabcabcabcabcabc而，所以即【证明思路】),(A),(A)()(cbacba满射存在Acba,,ccbbaa,,:cbacbacba)()()(同态)(cba)(cba逆用同态映射任取。Acba,,定理2(,,)A(,,)AAA:,,,,设和都是代数系统,而映射关于以及都是同态满射，满足第一分配律也满足第一分配律；那么（1）若,,满足第二分配律也满足第二分配律.（2）若A代数性质（结合律、交换律及分配律）“传递”中，那么(注意：满射的条件是如何起作用的)AA中的性质能“传递”到中去吗？在定理1及定理2中，都要求映射是同态满射A似乎当时，才能将是同态满射中的到不是满射时，“传递”还能进行吗？（1）当是满射，“传递”的方向能改变吗？（2）当(,)A(,)A设是到的同态映射，若是个一一映射，那么称是同构映射.(,)A(,)A到若有同构映射存在，称AA与同构，记为AA.,,AZAZ而与:(,)(,(),AAnnnA)其中例3设通常的加法“+”，现作那么是同构映射.都是整数中例41,1,.AAAA奇，偶，运算分别为数的乘法和，则·11111111偶奇偶奇偶奇奇偶分析：令1-111=1===111-1=-1===1-1-1-1=1===-1-1：偶，奇，则是双射且（）（）偶偶偶（）（）；（（））（）奇偶奇（）（）；（（）（））（）偶奇奇（）（）F44321}),,,{(FFaaaaaAi)(24321FMFxxxxxAi(,),)AA与(例5设为数域，证明：是同构的。为矩阵的加法）（其中+为数组间的加法，分析：令12123434:(,,,)aaaaaaaa性质：(,)A(,)A设是到的同构映射。则的逆映射是到的同构映射。(,)A(,)AaAA,:1aaa)(证明：的逆映射)()()(111baba任取Aba,,)()())()((1111bababa如果(,,)A(,,)A和同构，那么(1)满足结合律也满足结合律；(2)满足交换律也满足交换律；(3),满足分配律,也满足分配律.注意：由上述表明，同构的两个代数体系运算所带来的规律性是相同的，抽象的看，它们仅为元素和运算命名上的不同，而本质是一样的。代数性质：一个代数体系经同构映射而保持不变的性质。就是确定所有互不同构的代数体系以及它们的代数结构。而为了确定一个代数体系的代数结构，只须让它与一个代数结构已经清楚的代数体系同构则可。因此：同构的代数体系由于完全相同的代数结构。对于○与○来说的一个A与A间的同构映射，叫做一个关于○的A的自同构。例5A={1，2，3}.代数运算○由下表给定:○123123333333333求关于此运算的A的自同构定义两个代数体系如果同构，它们之间的同构映射,()()()AabAabab是的自同构是一一变换且对，注：不一定唯一.12:11,22,33:11,23,32；；35:12,21,33:12,23,31；；46:13,22,31:13,21,32；A的全部一一变换有6个3=3（）因此，只有13，是自同构(,)Q1:xx2:xx3:2xx011,(1)(0)(1)mnm},3,2,1{},,3,2,1,0{NN(,),)NN与(设证明：不同构.NN(0),(1),nNm证明：（反证法）如果设0n0不在N中，矛盾。(,),)NN与(不同构.},{},{NN与},{},{ZZ与},{},{QQ与Q证明：（1）不同构（普通乘法）.（2）不同构.（3）不同构.（其中为非零有理数集）.