平面向量的概念与线性运算(含答案)一轮复习随堂练习

平面向量的概念与线性运算基础巩固强化1.(文)(2011·广西六校联考、北京石景山检测)已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA→＋OB→＋OC→＝0，那么()A.AO→＝OD→B.AO→＝2OD→C.AO→＝3OD→D．2AO→＝OD→[答案]A[解析]∵OB→＋OC→＝2OD→，∴2OA→＋2OD→＝0，∴AO→＝OD→.(理)(2012·珠海调研)已知△ABC及其平面内点M满足MA→＋MB→＋MC→＝0，若存在实数m使得AB→＋AC→＝mAM→成立，则m等于()A．2B．3C．4D．5[答案]B[解析]解法1：由已知条件MB→＋MC→＝－MA→.如图，延长AM交BC于D点，则D为BC的中点．延长BM交AC于E，延长CM交AB于F，则E、F分别为AC、AB的中点，即M为△ABC的重心．AM→＝23AD→＝13(AB→＋AC→)，即AB→＋AC→＝3AM→，则m＝3.解法2：∵AB→＋AC→＝MB→－MA→＋MC→－MA→＝MB→＋MC→－2MA→＝mAM→，∴MB→＋MC→＝(m－2)AM→，∵MA→＋MB→＋MC→＝0，∴(m－2)AM→＝AM→，∴m＝3.2．(2011·广东江门市模拟)若四边形ABCD满足AB→＋CD→＝0，(AB→－AD→)·AC→＝0，则该四边形一定是()A．直角梯形B．菱形C．矩形D．正方形[答案]B[解析]由AB→＋CD→＝0知，AB→＝DC→，即AB＝CD，AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形．又(AB→－AD→)·AC→＝0，∴DB→·AC→＝0，即AC⊥BD，因此四边形ABCD是菱形，故选B.3．(文)如图所示，在△ABC中，BD→＝12DC→，AE→＝3ED→，若AB→＝a，AC→＝b，则BE→等于()A.13a＋13bB．－12a＋14bC.12a＋14bD．－13a＋13b[答案]B[解析]∵AE→＝3ED→，∴ED→＝14AD→，∵BD→＝12DC→，∴BD→＝13BC→，∴BE→＝BD→－ED→＝BD→－14AD→＝BD→－14(AB→＋BD→)＝34BD→－14AB→＝14BC→－14AB→＝14AC→－12AB→＝14b－12a.(理)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC→＝a，BD→＝b，则AF→＝()A.14a＋12bB.13a＋23bC.12a＋14bD.23a＋13b[答案]D[解析]由条件易知，DF→＝13DC→，∴AF→＝AC→＋CF→＝a＋23CD→＝a＋13(b－a)＝23a＋13b.故选D.4．(2011·广东文)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝()A.14B.12C．1D．2[答案]B[解析]a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，因为(a＋λb)∥c，所以4＋4λ－6＝0，所以λ＝12.5．(文)(2011·惠州模拟)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD→＝2DB→，CD→＝λCA→＋μCB→，则μλ的值为()A．1B.12C．2D.13[答案]C[解析]CD→＝CA→＋AD→＝CA→＋23AB→＝CA→＋23(CB→－CA→)＝13CA→＋23CB→，∴λ＝13，μ＝23，∴μλ＝2.(理)(2011·厦门模拟)已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，OM→＝xOA→＋12OB→＋13OC→，则x的值为()A．0B.13C.12D.16[答案]D[解析]∵x＋12＋13＝1，∴x＝16.6．设OA→＝e1，OB→＝e2，若e1与e2不共线，且点P在线段AB上，|APPB|＝4，如图所示，则OP→＝()A.15e1－25e2B.25e1＋15e2C.15e1＋45e2D.25e1－15e2[答案]C[解析]AP→＝4PB→，∴AB→＝AP→＋PB→＝5PB→，OP→＝OB→＋BP→＝OB→－15AB→＝OB→－15(OB→－OA→)＝45OB→＋15OA→＝15e1＋45e2.7．(文)(2011·山东济南市调研)如图，在△ABC中，AN→＝13NC→，P是BN上的一点，若AP→＝mAB→＋211AC→，则实数m的值为________．[答案]311[解析](如图)因为AP→＝AB→＋BP→＝AB→＋kBN→＝AB→＋k(AN→－AB→)＝AB→＋k(14AC→－AB→)＝(1－k)AB→＋k4AC→，所以1－k＝m，且k4＝211，解得k＝811，m＝311.(理)(2011·聊城模拟)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC→＝λAE→＋μAF→，其中，λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.[答案]43[解析]如图，∵四边形ABCD是平行四边形，且E、F分别为CD、BC中点．∴AC→＝AD→＋AB→＝(AE→－DE→)＋(AF→－BF→)＝(AE→＋AF→)－12(DC→＋BC→)＝(AE→＋AF→)－12AC→，∴AC→＝23(AE→＋AF→)，∴λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.8．(文)(2011·合肥模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足OC→＝23OA→＋13OB→，则|AC→||AB→|＝________.[答案]13[解析]∵OC→＝23OA→＋13OB→，23＋13＝1，∴A、B、C三点共线，∵AC→＝OC→－OA→＝13OB→－13OA→＝13AB→，∴|AC→||AB→|＝13.(理)(2012·四川文)设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是()A．|a|＝|b|且a∥bB．a＝－bC．a∥bD．a＝2b[答案]D[解析]对于A，|a|＝|b|，且a∥b，可知a与b共线，若反向，则不能满足结论a|a|＝b|b|，对于B选项，两向量反向，而C选项a∥b，同样若反向不能满足．而D项显然满足，故选D.[点评]注意到a|a|是与a同向的单位向量，b|b|是与b同向的单位向量，故a|a|＝b|b|⇔a与b同向．9．(2012·东北三省四市联考)在△ABC中，AB＝2AC＝2，AB→·AC→＝－1，若AO→＝x1AB→＋x2AC→(O是△ABC的外心)，则x1＋x2的值为________．[答案]136[解析]O为△ABC的外心，AO→＝x1AB→＋x2AC→，AO→·AB→＝x1AB→·AB→＋x2AC→·AB→，由向量数量积的几何意义，AO→·AB→＝12|AB→|2＝2，∴4x1－x2＝2，①又AO→·AC→＝x1AB→·AC→＋x2AC→·AC→，∴－x1＋x2＝12，②联立①②，解得x1＝56，x2＝43，∴x1＋x2＝136.10．(文)如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知AM→＝c，AN→＝d，试用c、d表示AB→、AD→.[解析]解法一：AD→＝AM→－DM→＝c－12AB→，①AB→＝AN→－BN→＝d－12AD→，②由①②得AB→＝23(2d－c)，AD→＝23(2c－d)．解法二：设AB→＝a，AD→＝b，因为M、N分别为CD、BC的中点，所以BN→＝12b，DM→＝12a，于是有：c＝b＋12a，d＝a＋12b，解得a＝232d－c，b＝232c－d，即AB→＝23(2d－c)，AD→＝23(2c－d)．(理)如图，在△ABC中，AMAB＝，ANAC＝，BN与CM交于P点，且AB→＝a，AC→＝b，用a，b表示AP→.[分析]由已知条件可求AM→、AN→，∵BN与CM相交于点P，∴B、P、N共线，C、P、M共线，因此，可以设PN→＝λBN→，PM→＝μCM→，利用同一向量的两种a，b的线性表示及a、b不共线求解；也可以设BP→＝λBN→，用a、b，λ来表示CP→与CM→，利用CP→与CM→共线及a、b不共线求解．解题方法很多，但无论什么方法，都要抓住“共线”来作文章．[解析]由题意知：AM→＝13AB→＝13a，AN→＝14AC→＝14b，BN→＝AN→－AB→＝14b－a，CM→＝AM→－AC→＝13a－b.设PN→＝λBN→，PM→＝μCM→，则PN→＝λ4b－λa，PM→＝μ3a－μb.∴AP→＝AN→－PN→＝14b－(λ4b－λa)＝λa＋1－λ4b，AP→＝AM→－PM→＝13a－(μ3a－μb)＝1－μ3a＋μb，∴λa＋1－λ4b＝1－μ3a＋μb，而a，b不共线．∴λ＝1－μ3且1－λ4＝μ.∴λ＝311.因此AP→＝311a＋211b.能力拓展提升11.(2011·山东青岛质检)在数列{an}中，an＋1＝an＋a(n∈N*，a为常数)，若平面上的三个不共线的非零向量OA→，OB→，OC→满足OC→＝a1OA→＋a2010OB→，三点A、B、C共线且该直线不过O点，则S2010等于()A．1005B．1006C．2010D．2012[答案]A[解析]由题意知，a1＋a2010＝1，又数列{an}为等差数列，所以S2010＝a1＋a20102×2010＝1005，故选A.12．(文)(2011·安徽安庆模拟)已知点P是△ABC所在平面内一点，且满足3PA→＋5PB→＋2PC→＝0，设△ABC的面积为S，则△PAC的面积为()A.34SB.23SC.12SD.25S[答案]C[分析]由系数3＋2＝5，可将条件式变形为3(PA→＋PB→)＋2(PB→＋PC→)＝0，故可先构造出PA→＋PB→与PB→＋PC→，假设P为P′点，取AB、BC中点M、N，则PM→＝12(PA→＋PB→)，PN→＝12(PB→＋PC→)，条件式即转化为PM→与PN→的关系．[解析]设AB，BC的中点分别为M，N，则PM→＝12(PA→＋PB→)，PN→＝12(PB→＋PC→)，∵3PA→＋5PB→＋2PC→＝0，∴3(PA→＋PB→)＝－2(PB→＋PC→)，∴3PM→＝－2PN→，即点P在中位线MN上，∴△PAC的面积为△ABC面积的一半，故选C.(理)(2011·东北三校联考)在△ABC中，点P是AB上的一点，且CP→＝23CA→＋13CB→，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又CM→＝tCP→，则t的值为()A.12B.23C.34D.45[答案]C[解析]∵CP→＝23CA→＋13CB→，∴3CP→＝2CA→＋CB→，即2CP→－2CA→＝CB→－CP→，∴2AP→＝PB→，因此P为AB的一个三等分点，如图所示．∵A，M，Q三点共线，∴CM→＝xCQ→＋(1－x)CA→＝x2CB→＋(x－1)AC→(0x1)，∵CB→＝AB→－AC→，∴CM→＝x2AB→＋(x2－1)AC→.∵CP→＝CA→－PA→＝－AC→＋13AB→，且CM→＝tCP→(0t1)，∴x2AB→＋(x2－1)AC→＝t(－AC→＋13AB→)，∴x2＝t3且x2－1＝－t，解得t＝34，故选C.13．已知点A(2,3)，C(0,1)，且AB→＝－2BC→，则点B的坐标为________．[答案](－2，－1)[解析]设点B的坐标为(x，y)，则有AB→＝(x－2，y－3)，BC→＝(－x,1－y)，因为AB→＝－2BC→，所以x－2＝2x，y－3＝－21－y，解得x＝－2，y＝－1.14．已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足PA→＋BP→＋CP→＝0，AP→＝λPD→，则实数λ的值为________．[答案]－2[解析]如图，∵D是BC中点，将△ABC补成平行四边形ABQC，则Q在AD的延长线上，且|AQ|＝2|AD|＝2|DP|，∵PA→＋BP→＋CP→＝BA→＋CP→＝0，∴BA→＝PC→，又BA→＝QC→，∴P与Q重合，又∵AP→＝λPD→＝－2PD→，∴λ＝－2.15．(文)已知四点A(x,0)、B(2x,1)、C(2，x)、D(6,2x)．(1)求实数x，使两向量AB→、CD→共线．(2)当两向量AB→与CD→共线时，A、B、C、D四点是否在同一条直线上？[解析](1)AB→＝(x,1)，CD→＝(