§3.1-3.2 表示力学量的算符 动量算符和角动量算符

第三章量子力学中的力学量本章要求1了解希耳伯特空间,态矢量,内积等概念,了解算符的性质和运算规则。2掌握动量算符的本征值方程及其本征函数的箱归一化问题。3掌握角动量算符的本征值方程、本征函数（球谐函数）及本征值问题。掌握角动量算符的对易关系。4掌握氢原子的量子力学处理方法和相关的结果。了解氢原子内电子坐标取值的概率分布、电流密度分布和原子磁矩的概念。5掌握厄密算符的性质：本征值为实数，本征函数的正交性和完备性。6理解和掌握测不准关系。教学内容§1表示力学量的算符§2动量算符和角动量算符§3电子在库仑场中的运动§4氢原子§5厄密算符的本征值与本征函数§6算符与力学量的关系§7共同本征函数§8测不准关系（一）算符定义（二）算符的一般特性§1算符的运算规则代表对波函数进行某种运算或变换的符号Ôu=v表示Ô把函数u变成v，Ô就是这种变换的算符。1）du/dx=v，d/dx就是算符，其作用是对函数u微商，故称为微商算符。2）xu=v，x也是算符。它对u作用是使u变成v。由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义，例如：（一）算符定义（1）线性算符Ô(c1ψ1+c2ψ2)=c1Ôψ1+c2Ôψ2，其中c1,c2是任意复常数，ψ1,ψ1是任意两个波函数。（2）算符相等是线性算符。单位算符动量算符Iipˆˆ开方算符、取复共轭就不是线性算符。注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。（二）算符的一般特性若两个算符Ô、Û对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即Ôψ=Ûψ，则算符Ô和算符Û相等，记为Ô=Û。（3）算符之和显然，算符求和满足交换率和结合率。之和。势能算符和体系动能算符等于算符表明VTHHamiltonVTHˆˆˆˆˆˆ可以证明线性算符之和仍为线性算符。若两个算符Ô、Û之和定义为：对体系的任何波函数ψ有：(Ô＋Û)ψ=Ôψ+Ûψ（4）算符之积一般来说算符之积不满足交换律，即ÔÛ≠ÛÔ这是算符与通常数运算规则的唯一不同之处。若ÔÛ≠ÛÔ，则称Ô与Û不对易。不对易。例如：算符xxipxˆxxxxiixpx)(ˆ)1(证：ixppxixppxxppxxxxxxxˆˆˆˆˆˆ所以是任意波函数，因为）（而xxxxiixixp)(ˆ)2(对易关系算符之积定义为：对于任意波函数ψ，有(ÔÛ)ψ=Ô(Ûψ)izppziyppyzzyyˆˆˆˆ与共轭动量满足同理可证其它坐标算符0ˆˆˆˆ0ˆˆˆˆ0ˆˆˆˆ0ˆˆ0ˆˆ0ˆˆ0ˆˆ0ˆˆ0ˆˆzxxzyzzyxyyxyyxxzzxxzzyyppppppppppppzppzzppzyppyyppyxppxxppxzyxixppxppppxxxx,,,ˆˆˆˆˆˆ00写成通式:量子力学中最基本的对易关系（5）对易括号为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号：[Ô,Û]≡ÔÛ-ÛÔipx]ˆ,[不难证明对易括号满足如下对易关系：1)[Ô,Û]=-[Û,Ô]2)[Ô,Û+Ê]=[Ô,Û]+[Ô,Ê]3)[Ô,ÛÊ]=[Ô,Û]Ê+Û[Ô,Ê]4)[Ô,[Û,Ê]]+[Û,[Ê,Ô]]+[Ê,[Ô,Û]]=0上面的第四式称为Jacobi恒等式。（6）逆算符1.定义:设Ôψ=φ,能够唯一的解出ψ,则可定义算符Ô之逆Ô-1为:Ô-1φ=ψ2.性质I:若算符Ô之逆Ô-1存在,则ÔÔ-1=Ô-1Ô=I,[Ô,Ô-1]=0证:ψ=Ô-1φ=Ô-1(Ôψ)=Ô-1Ôψ因为ψ是任意函数,所以Ô-1Ô=I成立.同理,ÔÔ-1=I亦成立.3.性质II:若Ô,Û均存在逆算符,则(ÔÛ)-1=Û-1Ô-1单位算符I:IΨ=Ψ,Ψ为任意波函数nnFnxxFn!)0(0)()(设给定一函数F(x),其各阶导数均存在,其幂级数展开收敛则可定义算符Û的函数F(Û)为:nnFnUUFnˆ)ˆ(!)0(0)(ninntHitHe]ˆ[!10ˆ（8）复共轭算符算符Û的复共轭算符Û*就是把Û表达式中的所有量换成复共轭。piipˆ*)(*ˆ例如:坐标表象中（7）算符函数是两个任意函数。和式中定义为：的转置算符算符*ˆ~ˆ*~ˆˆUdUdUUxx~1：例xdx~*证：利用波函数标准条件:当|x|→∞时ψ,→0。0)(*~xxdxxxxx~~0)(xxppˆ~ˆ由于ψ、φ是任意波函数,所以*xdxxdx*|*xdx*同理可证:ABBA~ˆ~ˆ)ˆˆ(可以证明：（9）转置算符(10)厄密共轭算符*)ˆ(ˆ*OdOd＋*)ˆ(ˆ*OdOd由此可得：*~ˆˆOO算符Ô之厄密共轭算符Ô+定义:可以证明:(ÔÂ)+=Â+Ô+(ÔÂÛ...)+=...Û+Â+Ô+**ˆOd*~ˆ*Od(11)厄密算符1.定义:满足下列关系的算符称为厄密算符.OOOdOdˆˆ*)ˆ(ˆ*或性质I:两个厄密算符之和仍是厄密算符。即若Ô+=Ô,Û+=Û则(Ô+Û)+=Ô++Û+=(Ô+Û)性质II:两个厄密算符之积一般不是厄密算符,除非二算符对易。因为(ÔÛ)+=Û+Ô+=ÛÔ≠ÔÛ仅当[Ô,Û]=0成立时,(ÔÛ)+=ÔÛ才成立。1．指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。,4222dxdx,2nK122222122212222211222221122244)(4)(4)(41)(udxdxcudxdxcucdxdxucdxdxucucdxdx是线性算符22221122222121212122211][][2][2)(ucucucuuccucucuc不是线性算符NKNKNKNKnKucucucucucuc12211112211112211)3(是线性算符2．指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。224dxddxdidxd，，不是厄米算符，，当解：dxddxdxddxdxddxdxddxdxdxdxdxddxdxd*)(*)(**00***-xpxˆˆ)ˆˆˆˆ(21xppxxx是厄米算符dxdidxdxdidxdxdidxdxdiidxdxdi*)(*)(***-是厄米算符22222222-224*)4(*4*4*4*4*4*44*dxddxdxddxdxddxdxddxddxdxddxddxdxddxddxddxdxddpxdpxxx)ˆ(ˆ)ˆˆ(2*12*1dxpdpxxx2121*)ˆˆ(ˆ*)ˆ（xxpxpˆˆˆ因不是厄米算符。dxpdpxdxppxxxxx2*12*12*1)ˆˆ(21)ˆˆ(21)]ˆˆˆˆ(21[dpxdxpxx2*12*1)ˆˆ(21)ˆˆ(21dxppxxx2*1]))ˆˆˆˆ(21[dpxxpxx2*1])ˆˆˆˆ(21[)ˆˆˆˆ(21xppxxx是厄米算符。§3.1表示力学量的算符一、算符１、算符是指作用在一函数上得出另一函数的运算符号。ˆFuv，ˆF称为算符(1)ˆˆ,ˆduxuvxuvvdxdFuvFdxF22１２１２　　如，表示与相乘得函数。又如，则，算符，等等。　　设波函数经算符作用后变为，则粒子状态由态变为态。ˆˆˆˆˆˆFFFFHEHE　　如果一个算符作用于一个函数，结果等于乘上一个常数，　　　　　（2）则称为的本征值，为属于的本征函数。上式(2)称为算符的本征值方程。　　如定态薛定谔方程，是哈密顿算符的本征值方程，为本征值。　　举例：无限深势阱，一维线形谐振子。２、算符的本征值方程３、算符的例子1动量算符：分量式：动量算符表示动量这个力学量。2坐标算符：3哈密顿算符：经典的哈密顿函数：，将代入中：ˆpi　　　　(3)ˆˆˆ,xyzpipipixyz,ˆrr　　　　(4)22ˆ()(5)2HUr　　　　　ˆp2()2pHTVUrˆppi222ˆpˆH22ˆ()2HUr4量子力学中力学量用算符表示的规则：如果量子力学中的力学量在经典力学中有相应的力学量的算符由经典表示式中将换为算符而得出：ˆˆˆˆˆ(,)(,)(6)FFrpFri　　　　ˆFFˆ(,)Frppˆp例如，角动量算符：LrpˆˆˆLrpir(7)　　ˆijkLixyzxyz量子力学中的角动量算符：角动量算符prLriprLˆˆˆ)(ˆˆ)(ˆˆ)(ˆˆxyxyzzxzxyyzyzxyxipypxLxzipxpzLzyipzpyL22222222222)()()[()ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(ˆˆˆˆxyzxyzxyzxyzzyxyxxzzypypxpxpzpzpyLLLL三、力学量用厄米算符表示(Hermitoperator)１、当体系处于定态，即哈密顿算符的本征态时，能量有确定值，即本征值。当体系处于动量算符的本征态时，动量有确定值，这个值即在态中的本征值。２、算符表示力学量，当体系处于的本征态时，力学量有确定值，这个值即在态中的本征值。因为所有力学量的数值都是实数，而表示力学量的算符的本征值就是测量此力学量的可能值，所以，表示力学量算符的本征值必须为实数。什么类型的算符，本征值为实数？ˆHEEpˆppˆFFˆFˆF３、厄米算符量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符。定义：若则称为厄米算符。式中代表所有变量，积分范围为所有变量变化的整个区域。４、证明厄米算符的本征值是实数。证：ˆˆ()FdxFdx(8)　　　ˆFxˆ,ˆˆ(),,FFdxFdxdxdx和为任意函数，取，则　　　　为实数验证：坐标算符和动量算符是厄米算符。坐标值为实数，()xdxxdx＋－x对动量算符的一个分量，有ˆ|ˆˆ(),xxxpdxidxxiidxxpdxpix　　　　　ˆxp分部积分22dxd例3、下列函数哪些是算符的本征函数，其本征值是什么？2x①②xe③xsin④xcos3⑤xxcossin2)(222xdxd①xxeedxd22②xxdxdxdxdsin)(cos)(sin22③)cos3(cos3)sin3()cos3(22xxxdxdxdxd④)cos(sincossinsin(cos)cos(sin22xxxxxxdxdxxdxd）⑤)ˆˆˆˆ(ˆˆ)ˆˆˆˆ(ˆˆˆˆyzxxyzxxxxPzPyPPPzP