6.4 基变换与坐标变换

第六章线性空间§2线性空间的定义与简单性质§3维数·基与坐标§4基变换与坐标变换§1集合·映射§5线性子空间§7子空间的直和§8线性空间的同构§6子空间的交与和主要内容基变换第四节基变换与坐标变换坐标变换公式举例向量的形式意义及运算我们知道，在n维线性空间V中，任意n个线性无关的向量都可取作线性空间V的一组基．V中任一向量在某一组基下的坐标是唯一确定的，但是在不同基下的坐标一般是不同的．因此在处理一些问题是时，如何选择适当的基使我们所讨论的向量的坐标比较简单是一个实际的问题．为此我们首先要知道同一向量在不同基下的坐标之间有什么关系，即随着基的改变，向量的坐标是如何变化的.1122,,,;nn12121122(,,,)(,,,)(,,,);nnnn2）一、向量的形式意义及运算1212(,,,)(,,,),;nnkkkkkP3）1）若有两组向量1212(,,,)(,,,)nn12,,,n为V中的一组向量，记作，称之为向量矩阵,给出定义：定义1V为数域P上的n维线性空间，12(,,,)n1.定义4）V为数域P上的n维线性空间，为12,,,nV中的一组向量，，若V1122nnxxx则记作1212(,,,)nnxxx11112121212122221122nnnnnnnnnnaaaaaaaaa则记作5）V为数域P上n维线性空间，；12,,,n12,,,n为V中的两组向量，若1112121222121212(,,,)(,,,)nnnnnnnnaaaaaaaaa1)121212,,,,,,,,,,,nnnVaaabbbP11112222121212(,,,)(,,,)(,,,)nnnnnnnabababababab若12,,,n线性无关，则111122221212(,,,)(,,,)nnnnnnabababababab2.运算规律2)；为V中的两组向量，12,,,n12,,,n矩阵，则,nnABP1212((,,,))(,,,)()nnABAB；1212(,,,)(,,,)nnAB；1212(,,,)(,,,)nnAA；1122(,,,)nnA若12,,,n线性无关，则1212(,,,)(,,,).nnABAB12(,,,)()nAB二、基变换12,,,n为V中的一组线性无关向量，而引理V为数域P上的n维线性空间，则线性无关12,,,n0.ija11112121212122221122nnnnnnnnnnaaaaaaaaa1.定义定义2设1,2,…,n与1,2,…,n是n维线性空间V中两组基，它们的关系是)1(.,,22112222112212211111nnnnnnnnnnaaaaaaaaa称(1)为基变换公式.2.基变换公式的矩阵形式为了写起来方便，我们引入一种形式的写法.把基写成一个1n矩阵，于是(1)可写成如下矩nnnnnnnnaaaaaaaaa2122221112112121),,,(),,,(阵形式：矩阵nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211称为由基1,2,…,n到1,2,…,n的过渡矩阵.由于1,2,…,n是线性无关的，所以过渡矩阵A的列向量组线性无关，因此，过渡矩阵A是可逆的.注意:1)基变换公式的矩阵形式是“形式的”.因为在这里把向量作为矩阵的元素，一般来说没有意义.不过在这个特殊的情况下，这种约定的用法是不会出毛病的.2)过渡矩阵A的第j列(a1j,a2j,…,anj),就是第二组基向量j在第一组1,2,…,n下的坐标.3）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵．4）若由基过渡矩阵为A,1212,,,,,,到基nn则由基过渡矩阵为A-1.1212,,,,,,到基nn5）若由基过渡矩阵为A,1212,,,,,,到基nn由基过渡矩阵为B，则1212,,,,,,到基nn由基过渡矩阵为AB.1212,,,,,,到基nn3.运算规律设1,2,…,n和1,2,…,n是V中两个向量组，A=(aij),B=(bij)是两个nn矩阵，则1)((1,2,…,n)A)B=(1,2,…,n)(AB)2)(1,2,…,n)A+(1,2,…,n)B=(1,2,…,n)(A+B)；3)(1,2,…,n)A+(1,2,…,n)A=(1+1,2+2,…,n+n)A.定理2设Vn中的元素,在基1,2,…,n)2(,211212121nnnnxxxAxxxxxxAxxx或系式(1),则有坐标变换公式下的坐标为(x1,x2,…,xn)T.下的坐标为(x1,x2,…,xn)T,在基1,2,…,n若两个基满足关三、坐标变换公式证明：因nnnnxxxxxx21212121),,,(),,,(nnxxxA2121),,,(由于线性无关,故即有关系式(2).证毕n,,,21换公式(1).两种坐标满足坐标变换公式(2),则两个基满足变这个定理的逆命题也成立.即若任一元素的过渡矩阵的求法,001100010321132133212下坐标，得到A的第j列(a1j,a2j,…,anj),可得到过渡矩阵A.方法1：求出j（j=1,2,…,n）在旧基1,2,…,n如：求基1,2,3在基2,3，1下的过渡矩阵.010001100A，，旧基中如1,02,1,R:212方法2：直接利用矩阵来计算.,,,,,,,21''2'1Ann.,,,,,,A''2'1-121nn则，，新基0,11,121,,,2121A,12010111A.2111011112011A，，旧基中如1,02,1,R:212方法3：利用矩阵的初等变换计算..E,,,,,,2121Ann初等行变换，，新基0,11,121,,,2121A.2111100101111201)2(12AErr方法4：利用单位基计算.,,,,21neee单位基：,,,,21n旧基：,,,,21n新基：,,,,,,,221''2'1Aeeenn,,,,,,,12121Aeeenn,,,,,,,21121''2'1AAnn.211AAA例1在R2中旋转变换jijjiicos)(sinsincosyxyyxxcossinsincos,cossinsincos,,jiji,cossinsincos,yxyx四、举例例2在Pn中，求由基12,,,n到基12,,,n过渡矩阵．其中12(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,,0,1)n12(1,1,,1),(0,1,,1),,(0,,0,1)n解：∵11222nnnn的过渡矩阵及由基12,,,n12,,,n到基的并求向量在基下的坐标.12,,,n12(,,,)naaa11212100110(,,,)(,,,)111nn1210001100(,,,)01100001n而，∴1212100110(,,,)(,,,)111nn12,,,n12,,,n到基由基的过渡矩阵为1000110001100001故，由基12,,,n到基12,,,n的过渡矩阵为10011011112(,,,)naaa在基下的坐标就是12,,,n12(,,,)naaa设在基下的坐标为，则12,,,n12(,,,)nxxx111222111000110001100001nnnnxaaxaaaxaaa所以在基下的坐标为12,,,n1211(,,,)nnaaaaa例3在P[x]4中取两个基,2231xxx,12231xx,12233xxx;1234xx,1232xxx及.23234xxx,22233xxx,2222xx求由基1,2,…,n到1,2,…,n的过渡矩阵和坐标变换公式.解将1,2,3,4用1,2,3,4表示.Axxx)1,,,(),,,(234321Bxxx)1,,,(),,,(234321其中1110011112121111A2221112031111202B由得BA143214321),,,(),,,(故过渡矩阵为A-1B，坐标变换公式为432114321xxxxABxxxx11111000100001000011001011100001用矩阵的初等变换求B-1A:11102221011111201212311111111202)|(AB行变换中的B变成E,则A即变成B-1A.计算如下:把矩阵(B|A)即得432143211111100000111110xxxxxxxx11111000001111101BA例4在P3中求向量173在基,5311,2362